恶补基本功-本科代数-第二章，1-2节

先说说群(Groups)，一个群，G，是一个集。

打个比方，以乘法群(multiplicative group)来说，G的成员x和y，与xy皆为G的元素时，有着三个特性：

1. 满足结合律，也就是(xy)z=x(yz)

2. 对于每一个x，存在着ex=xe=x，而e是G的成员

3. 如果x是G的成员，那么就存在着一个y，使得xy=yx=e。

如果我们稍微改一改，把xy变成x+y，那么这个特性就变成：

1. 结合律：(x+y)+z=x+(y+z)

2. 存在着元素0，使得0+x=x+0=x

3. 存在元素y，使得x+y=y+x=0

对于G的所有x和y，存在着乘法符号时，就是xy=yx，如果G有以上的特性，G就是一个阿贝尔群，或者就是可交换群。

打个比方

1. 让Q作为有理数的集，那么Q就是加法之下的群，对于非0的Q，就形成了乘法之下的群，也叫Q*

2. 实数和复数就属于加法群，而他们的非0成员就是乘法群，前者是R和C，后者是R*和C*

3. 绝对值为1的复数就是一个乘法群

4. 一个包含1和-1的集是一个乘法群

5. 一个包含1，-1，i，-i的集也是乘法群

6. 假设一个群G和G‘，而作为全部(x, x')。如果(x, x')和(y, y')这些对，属于(xy, x'y')，那么就是一个组。而又叫直接积(direct product)。这个例子可以延申成n元组（n-tuples)

7. 欧几里得空间，我们将其视为加法群。

8. 有理数的加法群是实数的假发群的副群(sub group)

9. 1是整数的加法群的生成器，因为每一个0以外的整数都能写成1+1+...+1或-1-1-...-1

10. （这个例子跟导数的论证有关，跳过）

一个只有一个元素的我们称之为trivial。如果这个群只有特定数量的元素，我们称之为finite group，有限群，而元素的数量为order，也就是阶。

如果H是G的子集，我们也可以说H是G的副群，如果H有成员的话并满足G的那些特性。如果G只有一个副群，那么我们可以称之为trivial subgroup，每一个G都是自己的副群。

映射，mapping

映射就是一个集S的所有成员，与另一个集S’的所有成员的关联。

S映射去S'，如果说f是其映射，我们会这样写：

我们也可以说f(x)就是x在f的映射中对应的x'，在这里，f(x)是x在f之下的像(image)，又叫做当f在x时的值(value)。所以所有f(x)组成起来的集，也叫f的像。如果T是S的子集，那么f()的集就叫T的像。

简单地说：