怎么通俗地理解有限增量公式？

牛顿386、怎么通俗地理解有限增量公式？

 

怎么通俗地理解有限增量公式？——网友提问

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…有限增量公式：见《牛顿385》…

 

[如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a） 成立。

（“a=x，b=x+△x时，就变成了下面这种形式。”现代学者说。）

拉格朗日中值定理的其他形式

 

记ξ=x+θ△x（0＜θ＜1），则有

△y=f（x+△x）-f（x）=f’（x+θ△x）·△x=f’（ξ）△x（0＜θ＜1）

上式称为有限增量公式。（“上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的精确表达式，因此也叫有限增量公式。”现代学者说。）

——《牛顿385》]

 

阿胶（发布于2017-05-19 17:20，24人赞同了该回答）：

通俗理解：

①Δy=dy+o（Δx）

意思是y的变化量=（y的微分）+（一个关于Δx的无穷小）

…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》

 

…o：英文名Omicron（大写Ο，小写ο），是第十五个希腊字母。

小写ο用于：高阶无穷小函数…

（…阶，无、穷、无穷，小，无穷小，高阶无穷小：见《牛顿280~282》…）

…微、分、微分：见《牛顿3》…

[如果函数的增量Δy=f（x + Δx）—f（x）可表示为Δy= AΔx+o（Δx）（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f（x）在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

 

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

 

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。

——《牛顿331》]

 

当Δx→0时，Δy才等于dy。

②当Δx不接近0，反而比0大得多时，0（Δx）并不是无穷小了，

所以要用一个新的公式。

根据Δy=f'（x）·Δx+o（Δx）这原始的微分公式，加上柯西中值定理，一个闭区间连续且切点斜率不为0的函数曲线中，必定有一个区间内的点，可以使得Δy与f'（ξ）Δx相等，这个点肯定在函数曲线两个端点之内，所以用（x+θΔx）来表示这个点的横坐标，而且0＜θ＜1。

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

所以这个Δx不接近0时的公式就是：Δy=f’（x+θΔx）Δx （0＜θ＜1）

这个公式就叫做有限增量公式。

“ξ∈（x，x+△x）这个开区间，中值定理只是指明这个点的存在性，但到目前为止还没有确定的方法，对任意的函数能把ξ准确的找出来。
把ξ写成ξ=x+θΔx，（0<θ<1）就是反应出ξ∈（x，x+△x）。
是把这个点的不确定性抛给了θ，也就是说，我们只是知道0<θ<1，但不知道他的确切值。

请看下集《牛顿387、有限增量公式里为什么ξ会等于x+θΔx呢？》”

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