古代炮兵怎样手算三角函数
前段时间和朋友们聊天说起来，在计算机技术发展起来之前，炮兵是个要求极高的技术兵种。尤其是手摇式的计算器发明之前，甚至需要在战场上手算弹道。而其中最重要的数学工具就是三角函数。
那么，三角函数也能手算？
当然，用泰勒展开式就可以把三角函数转换成多项式形式，计算近似值。
下面直接上公式。（我数学一般，就不搬运证明过程了）
其余几个，tan呀sec什么的，展开式对我这种学渣来说太难了，就没抄。反正只要会算sin和cos其它都能推算出来。
显然我们没有办法计算无穷级数的和。但是如果只是想要一个近似值的话，只需计算级数的前几项就可以了。具体取决于实际的精度需求。
举个例子，假如需要计算cos17°的近似值，要求精度为百万分之一。需要计算几项呢？
精度为百万分之一，也就是说，计算值与实际之差的绝对值要小于千万分之五。
而在计算过程中的中间值的近似值就要取到千万分之一级。
所以，第一步，将17°转换为弧度值的时候，π值要取3.1415927 。
角度17°的弧度近似值就是0.2967060 。
※千万分之一的小数必须写满7位，时即使最末位是0也不能省略。但是输入计算器或电脑计算的时候无所谓。
接下来就是对比计算结果来选择项数了。本学渣这里就不手工计算了，而是借用上个世纪的科技帮忙。
先用Excel自带的VBA编程工具写一个基于泰勒展开新余弦函数，姑且就叫cosTay 。
函数需要2个输入变量，弧度值和项数。
代码如下：
Function cosTay(a As Double, n As Integer) As Double
Dim i As Integer
Dim k As Double
For i = 0 To n
k = Application.WorksheetFunction.Fact(2 * i)
cosTay = cosTay + ((-1) ^ i) * (a ^ (2 * i)) / k
Next i
End Function
※引入k是因为调用Excel自带的阶乘（Fact）函数这句话有点长，这样写看起来舒服一点。
然后写一个计算对比值的模块，输出直到达到精度需求前的计算值。
代码如下：
Sub test()
Dim n As Integer
Dim a As Double
Dim d As Double
a = 0.296706
n = 1
Do
Cells(n + 1, 1).Value = Cos(a)
Cells(n + 1, 2).Value = cosTay(a, n)
d = Abs(Cos(a) - cosTay(a, n))
Cells(n + 1, 3).Value = d
n = n + 1
Loop While d >= 5 / 10000000
End Sub
运行以后的输出如下
原来，只需计算3项（也可以说4项，因为从n=0开始算的），精度别说千万分之一了，都已经亿分之一了。
当然了，这个精度和输入的弧度值也有一点关系。
如果是53°，弧度值0.9250245，就需要4项才能达到同等精度。如下表。
输入的弧度值越大就需要计算更多的项数来确保精度。当然，也可以通过加法定理将需要计算的弧度值变得小一些，这样就不必计算太多项。
比如：
这样就从计算53°变成计算7°了。
再来看一个我在工作中遇到的实例。
我拿到几千张画稿，上面大概是这样的图像。
有一系列阶梯下降的短横线，长度是3mm。相邻的两条横线在竖直方向上的理论间距是0.0400mm（我不能说真实的数值，这是随意拟的同数量级的一个数值）。通过测量实际间距和理论值的接近程度来评价成像精度的优劣。
现有的工具可以对扫描稿件进行分析，得出所有相邻两条横线（中点）的间距。但是，由于实际印刷、扫描时不可避免的存在歪斜。所以需要增加一个对歪斜角度的补偿功能。
这里就把它当一道数学题来做，要求精度是万分之一。
通过上面这个图应该比较容易看出来。原有工具导出的结果为D，歪斜角是α，短线长是L，需要计算的是D’ 。于是有：
因为需求精度并不太高，所以将三角函数转换为n=2的泰勒级数。
这样就已经是一个能够笔算的程度了。
虽然我想不会有人想看，但还是写一个实例。
D取0.3000，L取3，α取5° ，π取3.14159 ；代入计算（尽量约分）：
弧度取0.08727 。
如今，不会有人想去笔算这样的式子，所以我告诉大家结果，是0.0387 。
然而，在计算机技术普及之前，这是全世界众多科学家和工程师们解决问题的必经之路。
