就 高考 全国一卷 解析几何 大题 解析
(1)
有
4/a²-1/(a²-1)=1
即
4a²-4-a²=a^4-a²
即
a^4-4a²+4=0
即
a²=2
即
x²/2-y²=1
设
直线PQ
与
双曲线
左移2单位
下移1单位
方程为
y=kx+b
(x+2）²/2-(y+1）²=1
联立
即
x²-2y²+4x-4y=0
(y-kx）/b=1
联立
即
x²-2y²+(4xy-4kx²)/b-(4y²-4kxy)/b=0
设
y/x=t
有
1-2t²+(4t-4k)/b-(4t²-4kt)/b=0
即
1-2t²+4t/b-4k/b-4t²/b+4kt/b=0
即
(-2-4/b）t²+(4k+4)t/b+(b-4k)/b=0
即
(-2b-4）t²+(4k+4)t+(b-4k)=0
且
kAP+kAQ=0
即
t1+t2=0
即
(2k+2)/(b+2)=0
即
k=-1
(2)
设
P'(x1，y1)
Q'(x2，y2)
x1＜x2
直线AP倾斜角θ
cotθ=m
有
2m/(1-m²)=2√2
即
m=√2/2
即
kA'P'=√2
设
y/x=t
联立
x²-2y²+4x-4y=0
(y+x）/b=1
有
(-2b-4）t²+(b+4)=0
即
t1·t2=-2
即
-(b+4)/(2b+4)=-2
即
b=-4/3
联立
y=-x-4/3
x²-2y²+4x-4y=0
有
x²-2(x²+8/3x+16/9)+4x+4x+16/3=0
即
-x²-16/3x-32/9+8x+16/3=0
即
-9x²-48x-32+72x+48=0
即
-9x²+24x+16=0
即
x1+x2＝24/9
x1·x2=-16/9
即
S△PAQ
=S△P'A'Q'
=(x1y2-x2y1）/2
=(x1(-x2-4/3)-x2(-x1-4/3)）/2
=2/3(x2-x1)
=2/3√((x1+x2）²-4x1·x2)
=16√2/9
