《几何原本》命题3.13【夸克欧氏几何】

命题3.13：

如果两圆相切，那么切点只有一个

已知：圆ABCD，圆BEDF，两圆内切

求证：圆ABCD，圆BEDF切点只有一个

解：

假如圆ABCD，圆BEDF切点不只一个

设圆ABCD，圆BEDF切于点B，D

连接BD

（公设1.1）

求出圆ABCD的圆心点G

（命题3.1）

求出圆BEDF的圆心点H

（命题3.1）

证：
∵点G为圆ABCD的圆心，点H为圆BEDF的圆心，两圆切于点B，D

（已知）

∴点B，G，H，D在同一直线上

（命题3.11）

∵点G为圆ABCD的圆心

（已知）

∴BG=DG

（定义1.15）

∵DG＞DH

（公理1.5）

∴BG＞DH

（公理1.1）

∵BH＞BG

（公理1.5）

∴BH＞DH

（隐藏公理）

∵点H为圆BEDF的圆心

（已知）

∴BH=DH

（定义1.15）

∴圆ABCD，圆BEDF内切时，切点只有一个

已知：圆ACD，圆ACK，两圆外切

求证：圆ACD，圆ACK切点只有一个

解：

假如圆ACD，圆ACK切点不只一个

设圆ACD，圆ACK切于点A，C

连接AC

（公设1.1）

证：
∵点A，C在圆ACD上

（已知）

∴AC在圆ACD内

（命题3.2）

∵点A，C在圆ACK上

（已知）

∴AC也在圆ACK内

（命题3.2）

∴这是不可能的

（定义3.3）

∴圆ACD，圆ACK外切时切点只有一个

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用