20世纪数学经纬，张奠宙著 5 逻辑主义、直觉主义、形式主义：数学哲学大论战

　 牛顿和莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716)创立微积分，把无限带进了数学.牛顿在微分学中把增量dx看作无穷小，时而引进来， 时而忽略不计， 真可谓“呼之即来， 挥之即去”.于是贝克莱大主教称dx为“逝去量的鬼魂”，马克思评论略去高级无穷小（dx²）是“暴力镇压”. 唯心主义者的攻击和革命导师的批评都说明，微积分确实“不严格”.这一严格性的问题在19世纪末年已经解决.柯西建立了严格的极限理论，引进ε-δ定义.戴德金、康托尔等又将实数理论严密化，分析学有了可靠的基础和完整的体系.因此，庞加莱在1900年的国际会议上宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了.” 三年后, 英国的罗素 (BertrandArthur William Russell, 1872~1970)于1902年提出了一个集合论上的悖论. 这一悖论是如此清晰，数学家几乎没有辩驳的余地.正当康托尔创立的集合论开始为大家所接受的时刻，突然宣布集合论本身是自相矛盾的. 一盆冷水浇下来， 使数学家们目瞪口呆.数理逻辑学的前驱弗 罗素雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege,1848~1925)在他的《论数学基础》卷二的书后写道：“对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴： 当他工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌下来了. 当本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷于这样的境地.” 　 那么这颗重磅炸弹——罗素悖论究竟是怎么说的呢?试把集合分成两类：自己为自己元素者作为甲类(例如由图书馆构成的集合M仍是图书馆，即M∈M)，自己不是自己的元素的集合作为乙类(例如由人组成的集合N不是人，N不是N的元素).用符号表示就是M∈甲类意味着M∈M，M∈乙类意味着M∉M.这样，一个集合M，要么M∈甲，要么M∈乙，二者必居其一且仅居其一.罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类?请看： 若乙∈甲，则依甲的定义应有乙∈乙，这和乙∈甲矛盾，不可能；若乙∈乙，则依甲的定义应有乙∈甲，又产生矛盾.总之，陷于左右为难自相矛盾的尴尬境地. 　　罗素悖论震撼了数学界.号称天衣无缝、绝对正确的数学居然会出现自相矛盾，正如晴朗的天空上出现一片乌云，眼看着倾盆大雨就要来临了. 　　无独有偶，1900年的国际物理学大会上，大物理学家开尔文勋爵(Lord Kelvin, 原名Wiliam Thomson, 1824~1907)宣称,牛顿力学和麦克斯韦的电磁学方程已把物理学问题全都解决了. 其口气与庞加莱如出一辙.然而，他也注意到迈克耳孙(Albert Abra-ham Michelson, 1852~1931)和莫雷(Edward Williams Morley, 1838~1923)的光速不变实验和黑体辐射现象使古典物理学处于不能自圆其说的境地.这两片乌云给物理学带来了一场暴风骤雨.等到雨过天晴,人们发现:爱因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)创立的相对论代替了牛顿力学.短短几年的时间，物理学面目全非了. 　　罗素悖论使数学家感到“不安全”，于是努力设法消除这个怪物.逻辑主义、直觉主义、形式主义因而相继出现，一场大论战把数学推向了一个新阶段. 　　提起悖论， 我们并不陌生. 古希腊一个克里特岛上的人X说“我说的这句话是谎话”.这句话不能真，因为如果是真话，则X在说谎，从而这句话假.同时这句话不能假，如果这是假话，则X不说谎，又得这句话真.横竖都不对. 　　中国古时民间故事也有类似的悖论. 一位讼师收徒弟，言明学成后打赢一场官司交一两银子，打输一场就可不交.后来弟子满师打赢官司一直不交钱.老讼师气极了，告到县里，和这位弟子打官司. 这个弟子不慌不忙地对讼师说：“这场官司赢了当然不给你银子，如果打输了照规矩也不交银子，反正我横竖不交钱.”一句话把老讼师气死了. 　　这种语义悖论可以通过分析事理来加以判断真伪，或者所说的话无意义，或者所订协议不合理等等，因而可把悖论避开.然而罗素悖论都是从康托尔集合论的原理“严格”地构造出来的，这就不能不认真对待了. 　　人们从罗素悖论回溯，原来“集合的集合”这句话不能随便说.“一切集合所成之集”、“一切序数所成之集”早在1894年、1895年已被发现可以引起悖论，不过那时人们不大在意. 进入20世纪，人们看到这一矛盾的解决和对整个数学的看法有关.哪些概念不准确、哪些提法不严格、哪些推理不能用，都得一一加以检查.而由于哲学观点不同，就产生了几大派. 　　逻辑主义学派的代表人物是罗素和怀特黑德 (Alfred North Whitehead,1861~1947,英国数学家和哲学家). 他们两人合作写了著名的《数学原理》，共三卷, 在 1910~1913年出版.[1]他们的基本观点是“数学即逻辑”. 罗素说：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代.”在罗素看来，数学不过是由命题p推 怀特黑德出命题q的这种演绎的总和.数学没有内容，只有形式.只要不允许用“集合的集合”这种逻辑语言，悖论就不会发生.罗素在论及数学时这样表述：“数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道我们所讲的是什么，也不会知道我们所说的是不是真的.”[2]他的眼里只有“若p则q”这种逻辑推理的形式外壳， 没有几何和物理的意义，当然不必知道讲的是什么.由于没有实际内容，当然也就无所谓真、假.显然，这是一种唯心主义的说法.逻辑主义学派在数学上不能自圆其说，把数学全部归结为逻辑的企图没有也不可能实现，后来追随的人很少，现在已没有纯粹的逻辑主义者了.但是，罗素和怀特黑德的工作在数理逻辑这门学科的建立上有不可磨灭的贡献，它以完全形式的符号实现了逻辑的彻底公理化，揭示了数学和逻辑之间的关系，对于当今计算机的研制和人工智能的研究有重大现实意义.罗素活了98岁，于1970年才去世.他是一位著名的和平主义者，晚年长期领导禁止核武器运动，1950年获得诺贝尔和平奖. 　　第二个学派是直觉主义学派. 这一派认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断.“基本的直观是按时间顺序出现的感觉”，例如，由于无限反复，头脑中形成了一个接一个的自然数概念.一个接一个、无限下去，这是可以承认的(哲学上称为潜无限). 因为人们认为时间不是有限的，可以一直持续下去，但永远达不到无限(即实无限).所谓“全体实数”是不可接受的概念.“一切集合的集合”之类更是不能用直观理解的，因而不承认它的合理性，“悖论”自然也就不会产生了. 　　这一派最早的代表人物是克罗内克. 他有一句名言：“上帝创造自然数，别的都是人造的.”据查，这是他在午餐会上说的话，并未正式发表.意思是说，只有自然数是人们可以感觉的真实存在，其余都只是人为造出来的一些文字符号而已.他只承认用有限步可以确定的对象.一个微分方程如果不能用有限步构造出可任意逼近的解，不能认为它有解存在. 对于通常许多存在定理，他是不承认的.希尔伯特的老师林德曼(Carl Louis Ferdinand Lindemann,1852~1939)曾证明π是超越数. 克罗内克对他说：“无理数是不存在的，你对于π的美丽的探讨有什么用处?"[3] 　　庞加莱在某种程度上也支持直观主义.许多数学家都认为能够“构造”出对象而不是纯粹地谈它的存在是有益的.至于近代直觉主义的系统创立人，应该是荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Egbertus JanBrouwer, 1881~1966). 他把数学思维理解为一种创造性程序，数学必须受到基本的数学直觉的限制. 这一基本思想在他 布劳威尔1907年的博士论文《关于数学基础》中已经产生，后来在1925年和1926年又发表一系列重要论文加以论述. 他最惊人的主张是不承认排中律，不准用反证法证明一命题为真.例如，如果已证明在某个无穷集合中，并不是所有元素都具有某性质，按布劳威尔观点，不能说至少有一元素具有此性质，除非你把这个元素具体指出来.他的理由是：你没有构造出来，你就不能说“存在”. 在无穷集合中，你无法一个一个地拿出来检验是否具有某性质，你怎么能说至少有一个元素呢?否定“无限多个都具有某性质”，并不能直觉地告诉我哪一个元素具有此性质，因而反证法不能乱用. 　　这些观点起初不为大家所接受.希尔伯特曾说“不准数学家使用排中律，就和不准天文学家使用望远镜、不准拳师用拳头一样”；甚至说了“数学家中居然有人不承认排中律，这是数学家的羞耻”.[4]这些话都没有了解布劳威尔观点的精髓.其实上述“构造”性观点还是很重要的.纯存在性的定理，例如欧几里得(Euclid，约公元前330~公元前275)证明质数无限多，并没有指出第n个质数如何确定的一般方法，就不能算是好的证明，至少还不完善. 现在，大多数数学家都认为构造性观点是很对的、很重要的.后来希尔伯特也吸收了布劳威尔的长处，坚持有穷性观点最可靠，这正是直觉主义的核心.由此可见，各学派之间还有相互促进的一面. 第三派是形式主义学派.它的代表人物是希尔伯特.他在1899年写过《几何基础》一书，详细研究过几何公理. 他从非欧几何得到启发，认为所谓数学真理性不过是一个公理系统是否相容的问题.在集合论悖论出现之后，希尔伯特没有气馁. 他奋起保卫“无穷”，支持康托尔反对克罗内克，给纯粹性证明打气. 他在1904年国际数学家大会上，论述这些观点， 1920年代又发表了几篇重要论文.他和他的学生贝尔奈斯(Paul Isaak Bernays, 1888~1977)写的《数学基础》两卷集是重要的经典著作. 　　形式主义者认为： 无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中只要能够证明该公理系统是相容的、独立的和完备的，该公理系统便获得承认，它便代表一种真理. 悖论是不相容的一种表现. 　　从这个思想出发，希尔伯特打算把整个数学都公理化，并验证它的无矛盾性. 他设想最后只须验证算术公理的无矛盾性. 这一奢望后来被哥德尔打破了. 希尔伯特的形式主义计划没有可能全部实现, 但是他所创造的“元数学”(Metamathematics),已经成为人类的重要数学宝藏. 　　关于形式主义的争论是最激烈的.责难的人以为“以相容性作真理标准不充分”，相容的理论可以说得头头是道但完全错误，悖于情理.相容性也不是其理论所必需的.我们不是谈绝对真理，稍微有些不相容也没有关系.对此，希尔伯特也作了针锋相对的回答. 　　迄今为止，这场争论尚未停止.当今的数学家，已不再划分为三派. 他们各取所长，且发展各派所长，形成统一的数学分支——“数学基础”，向着人类思维的深处探求规律，这一点我们在后面还要提到.这里可以公告的是： 　　数学大厦的基础上至今仍然存在着裂缝！ 参考文献

[1] Russell B & Whitehead A. Principia Mathematica. 3 vols. Cam-bridge: Cambridge University Press, 1910~1913 [2]同[1], 1937年版 [3]克莱因.古今数学思想(第四册). 北大数学系数学史译组译. 上海：上海科学技术出版社,1981, 308 [4]赫尔曼·外尔.大卫·希尔伯特及其数学工作.见：数学史译文集.上海： 上海科学技术出版社， 1981