探索勾股定理

符合勾股定理的数称为勾股数，勾股数有很多，如(3,4,5)，(5,12,13)，(333,444,555)，(777,2664,2775)，(29,420,421)，(7821,102828,103125)(35,120,125)，(10,24,26)，(25,60,65)，(30,40,50)，………

勾股定理是复数加法运算的表现形式，在勾股定理中存在一种线性的关系，也是由复数的运算决定的。

任意一个复数，如 3+4i 构成它的实部和虚部的数满足勾股定理，3^2+4^2＝5^2，  那么这个复数的平方，如(4+3i)^2＝7+24i， 构成它的实部和虚部的数也满足勾股定理。7^2+24^2＝25^2。

下面这个复数，它的实部与虚部的平方和不满足勾股定理

         (2+3i)^2＝-5+12i

复数 2+3i 不满足勾股定理，2^2+3^2＝13 不能写成一个正整数的平方， 不满足勾股定理，但是复数 -5+12i 满足勾股定理，(-5)^2+12^2＝13^2，并且

(-5+12i)^2＝-119-120i

(-119)^2+(-120)^2＝169^2

(-119-120i)^2＝-239+28560i

(-239)^2+28560^2＝28561^2

(11+12i)^2＝-23+264i

11^2+12^2＝265  不满足勾股定理

(-23)^2+264^2＝265^2  满足勾股定理

(11+10i)^2＝21+220i

11^2+10^2＝221 不满足勾股定理

21^2+220^2＝221^2  满足勾股定理

任意一个复数，它的实部与虚部的平方和不一定满足勾股定理，但是这个复数的平方仍然是一个复数，并且运算结果构成这个复数的实部和虚部的数一定满足勾股定理。

a+bi 是任意一个复数，a，b是整数

(a+bi)^2＝c+di  (c+di 仍然是一个复数)

c^2+d^2＝g^2 (c^2+d^2＝g^2 一定满足勾股定理)。

任意一个复数，如果它的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则它的N次方仍然是一个复数，并且这个运算结果对应的复数的实部与虚部的平方和仍然满足勾股定理。如果一个复数的实部与虚部的平方和不满足勾股定理，则它的偶数次方这个运算结果对应的复数的实部与虚部的平方和仍然满足勾股定理。

例如复数 3+4i

3^2+4^2＝5^2 (勾股定理)

(3+4i)^2＝-7+24i

(-7)^2+24^2＝25^2 (满足勾股定理)

(3+4i)^3＝-117+44i

(-117)^2+44^2＝125^2(满足勾股定理)

(3+4i)^4＝-527-336i

(-527)^2+(-336)^2＝625^2 (满足勾股定理)

(3+4i)^5＝-237-3116i

(-237)^2+(-3116)^2＝3125^2 (满足勾股定理)

…………

例如复数 7+24i

7^2+24^2＝25^2 (勾股定理)

(7+24i)^2＝-527+336i

(-527)^2+336^2＝625^2 (满足勾股定理)

(7+24i)^3＝-11753-10296i

(-11753)^2+(-10296)^2＝15625^2(满足勾股定理)

(7+24i)^4＝164833-354144i

164833^2+(-354144)^2＝390625^2 (满足勾股定理)

…………

例如复数 5+12i

5^2+12^2＝13^2 (勾股定理)

(5+12i)^2＝-119+120i

(-119)^2+120^2＝169^2 (满足勾股定理)

(5+12i)^3＝-2035-828i

(-2035)^2+(-828)^2＝2197^2(满足勾股定理)

(5+12i)^4＝-239-28560i

(-239)^2+(-28560)^2＝28561^2 (满足勾股定理)

(5+12i)^5＝341525-145668i

341525^2+145668^2＝371293^2

…………

例如复数 1+5i

1^2+5^2＝26 (不满足勾股定理)

(1+5i)^2＝-24+10i

(-24)^2+10^2＝26^2 (满足勾股定理)

(1+5i)^3＝-74-110i

(-74)^2+(-110)^2＝17576(不满足勾股定理)

(1+5i)^4＝476-480i

476^2+(-480)^2＝676^2 (满足勾股定理)

(1+5i)^5＝2876+1900i

2876^2+1900^2＝11811376(不满足勾股定理)

…………

k是一个实数，n是整数，a+bi 是任意一个复数，如果 a+bi 的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则  (k•(a+bi))^n 的实部与虚部的平方和满足勾股定理。举例如下

取 k＝0.1，n＝2，a+bi＝3+4i，得到

(0.1•(3+4i))^2＝-0.07+0.24i

(-0.07)^2+0.24^2＝0.25^2

取 k＝-0.1，n＝-5，a+bi＝3+4i，得到

((-0.1)•(3+4i))^(-5)＝2.42688-31.90784i

2.42688^2+(-31.90784)^2＝32^2

…………

任意两个复数，如果它们的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则这两个复数之积的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。例如  3+4i ，9+12i，

 11+60i，15+20i，21+28i，这些复数的实部与虚部的平方和皆满足勾股定理。3^2+4^2＝5^2，9^2+12^2＝15^2，11^2+60^2＝61^2，15^2+20^2＝25^2，21^2+28^2＝35^2

作任意两个复数的乘积

(3+4i)•(9+12i)＝-21+72i

(11+60i)•(21+28i)＝-1449+1568i

(9+12i)•(15+20i)＝-105+360i

(3+4i)•(21+28i)＝-49+168i

(9+12i)•(21+28i)＝-147+504i

…………

(-21)^2+72^2＝72^2

(-1449)^2+1568^2＝2135^2

(-105)^2+360^2＝375^2

(-49)^2+168^2＝175^2

(-147)^2+504^2＝525^2

..........

仍然满足勾股定理。

(3+4i)•(9+12i)•(21+28i)•(15+20i)＝

-55335-35280i

(-55335)^2+(-35280)^2＝65625^2

…………

给定有限个复数，它们的实部与虚部的平方和皆满足勾股定理，则这有限个复数的乘积的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

(15+14i)^2•(3+4i)^2＝-10283-2244i

(-10283)^2+(-2244)^2＝10525^2

(15+14i)^2•(3+4i)^2•(9+12i)^2＝

1132533-2079756i＝

1132533^2+(-2079756)^2＝2,368,125^2

…………

给定有限个复数，它们的实部与虚部的平方和皆满足勾股定理，则这有限个复数的 N 次方(N为正整数)的乘积的实部与虚部的平方和也满足勾股定理

。

(8+15i)^3(9+12i)^5＝-93303252+3729642489i

93303252^2+3729642489^2

3730809375^(2)

(3+4i)^2(8+15i)^3(9+12i)^4

-5066159904+3605238153i

5066159904^2+3605238153^2＝6218015625^2

…………

任意给定有限个复数，它们的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则它们的 p(可以取不同的正整数值)次方的乘积的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。即给定有限个复数 a+bi，c+di，m+ni……

它们的 (a+bi)^p•(c+di)^r•(m+ni)^s………的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

给定任意有理 p 和 q，正整数 r ，s 和复数(a+bi)，(c+di)，这些复数的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则

((p•(a+bi))^r)•((q•(c+di))^s) 的的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。例如 (0.2•(5+12i)^3)•(0.4•(3+4i))＝-8.9376-33.9968i

(-8.9376)^2+(-33.9968)^2＝33.152^2

任意两个满足勾股定理的复数之商是一个实数，即它们是线性关系。

(9+12i)/(15+20i)=0.6

(9+12i)/(3+4i)＝3

(21+28i)/(15+20i)＝1.4

…………

如果 a+bi 是任意一个复数，a，b是整数

a^2+b^2＝g^2 (满足勾股定理)

则  a^2+(b^2)i  仍然是一个复数

(a^2)^2+(b^2)^2≠g^2 (不满足勾股定理，即不存在一个整数g使该式成立)

(a^2)^2+((b^2)^2)i  仍然是一个复数

((a^2)^2)^2+((b^2)^2)^2≠g^2 (不满足勾股定理，即不存在一个整数g使该式成立)

推出 复数a^n+(b^n)i 中，a，b为任意整数，当 n 为大于等于 2 的整数时，其计算结果得到的复数的实部和虚部的平方和不满足勾股定理。

a+bi 是任意一个复数，a，b是整数，

a^2+(b^2)i 的实部与虚部的平方和不满足勾股定理，即不一定存在一个正整数c，使得(a^2)^2+(b^2)^2＝c^2 成立。

对于任意复数，即它的实部与虚部都是整数的复数，勾股定理不成立 ，即

          a^2+b^2＝c^2 不成立

(其中，a，b，c 都是实部与虚部是整数的复数。且a 与 b 之间的夹角必须是 90ᐤ)

对于任意复数，如果它的实部与虚部是可以取任何有理数或无理数，则勾股定理成立。比如

arg((20+30i)^2)-arg((20+4i)^2)

1.570796327  (arg 表示辐角，单位是弧度，转换成角度是90.00000001ᐤ)

(20+30i)^2+(20+4i)^2＝-116+1360i

√(-116+1360i)＝24.98937868+27.21156091i (实部与虚部都是无理数，式中是近似值)，即

(20+30i)^2+(20+4i)^2＝

(24.98937868+27.21156091i)^2

任意给定一个复数，它乘以任意一个实数，仍然是一个复数，而且这些复数共线，如果这个复数的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则所有公线复数的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

任意给定一个复数，它的平方是一个复数，如果这些复数共线，则这些复数的平方仍然共线。

勾股定理是复数加法运算的特殊形式。

           3^2+4^2＝5^2

           (3^2+4^2i)+(16-16i)＝25

           (3^2+16i)+(4^2-16i)＝25

任意三个实数，a，b，c，如果满足勾股定理， a^2+b^2＝c^2。对于任意实数d，也满足勾股定理 

         d^2•a^2+d^2•b^2＝n^2

d^2•a^2 与 d^2•b^2 可以写成一个实数的平方。

任意给定一个复数，它的实部与虚部的皆为整数，且实部与虚部的平方和满足勾股定理，则将这个复数任意缩放（即线性变换）后它的实部与虚部的平方和仍然满足勾股定理。列如，复数  3+4i，缩放 n 倍，n为整数，仍然满足勾股定理，当n＝-2 时

     (-2)•(3+4i)＝-6-8i

     (-6)^2+(-8)^2＝10^2

当 n＝0.5 时，0.5•(3+4i)＝1.5+2i

1.5^2+2^2＝2.5^2

当 n＝0.11111 时，0.111•(3+4i)＝0.33333+0.44444i

0.33333^2+0.44444^2＝0.55555^2

当n＝11111时，11111•(3+4i)＝

33333+44444i

33333^2+44444^2＝55555^2

下面的情况与上面的类似，它对应的是复数 6+8i

6^2+8^2＝10^2

66^2+88^2＝110^2

666^2+888^2＝1110^2

6666^2+8888^2＝11110^2

对复数 7+24i 来说，对应下面的勾股定理

7^2+24^2＝25^2

77^2+264^2＝275^2

777^2+2664^2＝2775^2

7,777^2+26664^2＝27775^2

7,7777^2+266664^2＝277775^2

……………

无限循环小数也满足勾股定理

(3/7)^2+(4/7)^2＝(5/7)^2

式中，3/7，4/7，5/7 是无限循环小数

任给两个复数 a+bi，c+di，如果它们的实部与虚部的平方和满足勾股定理，即存在整数 g 和 h ，使得

         a^2+b^2＝g^2

         c^2+d^2＝h^2

成立，则当 (a+bi)•(c+di)＝(j+ki) 时

j^2+k^2＝p^2

例如 a+bi＝3+4i  (给 a+bi 赋值)

       3^2+4^2＝5^2(勾股定理)

c+di＝6+8i  (给 c+di 赋值)

       6^2+8^2＝10^2(满足勾股定理)

(a+bi)•(c+di)＝(3+4i)•(6+8i)＝-14+48i

(-14)^2+48^2＝50^2 (满足勾股定理)

再举几例

3^2+4^2＝5^2  (勾股定理)

11^2+60^2＝61^2  (勾股定理)

(3+4i)•(11+60i)＝-207+224i

(-207)^2+224^2＝305^2(满足勾股定理)

7^2+24^2＝25^2 (勾股定理)

5^2+12^2＝13^2  (勾股定理)

(7+24i)•(5+12i)＝-253+204i

(-253)^2+204^2＝325^2(满足勾股定理

8^2+15^2＝17^2 (勾股定理)

14^2+48^2＝50^2 (勾股定理)

(8+15i)•(14+48i)＝-608+594i

(-608)^2+594^2＝850^2(满足勾股定理

…………

下面从几何的角度来看勾股定理与复数的关系，先看下图

图中，3+4i  是一个复数，9+16i 也是一个复数，9+16i ＝3^2+(4^2)i，16-16i 也是一个复数，并作如下运算

(9+16i)+(16-16i)＝25，这是一个复数运算，复数运算的法则是平行四边形法则。

由  (9+16i)+(16-16i)＝25，得下式

(3^2+16i)+(4^2-16i)＝25，得

3^2+4^2＝25，得

3^2+4^2＝5^2

由此得出，勾股定理是复数运算的一种特殊形式。三角形的两边之和大于第三边，任意一个复数，由它的实部和虚部唯一确定一个直角三角形，直角三角形满足勾股定理，但在实数范围内无法解释为什么在直角三角形中，斜边的平方为什么等于两个直角边的平方和，但是转换到复空间中，用复数运算就很好的解释了直角三角形的勾股定理。

 

在上面的计算式中 3+4i 的模等于5，实数 25 也是一个复数，它的模长也是25，于是复数 25 的模长是复数 3+4i 的模长的 5 倍，是一个整数。而复数

9+16i 的模长是 18.35755975

 norm(9+16i)＝18.35755975

(norm 表示模长)

9+16i 的模长与 3+4i 的模长之比不是一个整数，因此 9+16i 的实部与虚部的平方和不满足勾股定理。

 

得出如下结论：任意一个复数，如果它的实部与虚部的平方和满足勾股定理，且另一个复数的模长与它的模长之比是一个整数，则另一个复数的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

举例如下：

norm(3+4i)＝5

norm(7+24i)＝25

norm(7+24i)/norm(3+4i)＝5

7^2+24^2＝25^2

norm(12+16i)＝20

norm(12+16i)/norm(3+4i)＝4

12^2+16^2＝20^2

…………

上述结论反过来却不一定成立，如

norm(11+60i)/norm(3+4i)＝12.2

结果不是整数，但是

11^2+60^2＝61^2

仍然满足勾股定理。

如果一个复数与另一个复数的实部与虚部都是整数，且这两个复数的模长之比是整数，则这两个复数之比是一个复数，且运算得到的这个复数的实部与虚部也是一个整数。

如果一个复数的实部与虚部的平方和满足勾股定理，则这个复数的线性变换得到的复数的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

结论：勾股定理是一种复数运算。

我想知道任给三个复数，它们的实部与虚部都是整数，那么其中任意两个复数的平方和等于第三个复数的平方，而且作为加数的这两个复数之间的辐角之差必须是 90ᐤ

即这三个复数要满足勾股定理。

即任给三个复数 a+bi，c+di，j+ki，a，b，c，d，j，k都是整数，下式成立

(a+bi)^2+(c+di)^2＝(j+ki)^2，并且

arg((a+bi)^2)-arg((b+di)^2)＝π/2。

我作了多次运算，始终未果。当复数的实部与虚部的取值不限制在整数范围内，可以在实数范围内取值时，(a+bi)^2+(c+di)^2＝(j+ki)^2  是近似成立的。例如

(12+5i)^2+(12-5i)^2＝(√238)^2＝238

arg((12+5i)^2)-arg((12-5i)^2)≈90.4794598≈90ᐤ

人们经常说勾三股四弦五，它是怎么来的呢？它其实是通过复数运算得出的，(2+i)^2＝3+4i  3^2+4^2＝5^2，这便是勾股定理的一种常见形式。可见，任意一个复数，它的实部与虚部的平方和不一定满足勾股定理，但是当把这个复数平方以后，实部与虚部的平方和则一定满足勾股定理。任意一个复数，若要使得勾股定理成立，大前题是，在复数 a+bi 中，a≠b且a≠0，b≠0。若a＝b，或a≠0，b≠0则 (a+bi)^2＝di (a,b,d是实数)纯虚数或实数，在此种条件下勾股定理就失去了意义。因此，勾股定理是复数定理的特殊形式。

有一些客观事实实是反直觉的，比如说，人们认为整数都是精确的可以测量的值，其实不然，整数只是无理数的近似。即自然界中本就不存在一个所谓的精确的数值，一切值都只能是近似值，甚至宇宙也是由无理数主导的，无理数包含有理数。比如我们对复数 3+4i 不断开方，结果是

√(3+4i)＝2+i

√(2+i)＝1.45534669+0.3435607497i

√(1.45534669+0.3435607497i)＝

1.214638932+0.1414250526i

………

这样一直开方下去，结果不可能是1，因为乘方与开方互为逆运算，如果      3+4i不断开方的结果等于1，那么逆运算后就无法得到 3+4i 这个复数了。不断开方的结果使得复数的实部与虚部都变成了无理数，而无理数不断乘方又怎么能变成有理数呢？因此，要么把有理数看作无理数运算结果的近似，要么把无理数看作有理数运算的一种结果。

有理数与无理数具有相对性，它们都是运算的一种结果，而宇宙正是处在无穷尽的运算结构之中，由复数的运算可以得到全部实数，实数都是运算结果，而非真实存在，即不存在一个与生俱来的实数，更基本的数是复数。数中最基本的数是1，0是很晚才出现的，而且单独的0并不表示数，它常用于和非零数字组合表示数。1 这个数是复数运算的结果。

        ((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝1

由此推出

2•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝2

3•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝3

4•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝4

5•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝5

…………

得到这些正整数的前题是复数 a+bi 的实部和虚部必须是无理数。

这些运算是复数的线性运算，因此，正整数以 1 为单位元是线性空间，是由复数的线性运算决定的。

所有的实数都可以通过复数间的运算得到，由此看来，复数单位 i 才是最基本的数，而非实数 1。

通过上面的分析，复数 3+4i 的实部与虚部的平方和又可以写成

(3•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2+

(4•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2＝

(5•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2

设 n 为正整数，

(3•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n+

(4•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n＝

(5•((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n

仅当 n＝2时，上式才成立，否则相加的结果便是个无理数，不能写成一个有理数的平方。

((√8+(√2)i)^4)＝-28+96i

((√18+(√2)i)^4)＝112+384i

((√32+(√2)i)^4)＝644+960i

((√50+(√2)i)^4)＝1904+1920i

…………

上述计算结果的实部与虚部的平方和也满足勾股定理，如下

(−28)^2+96^2＝100^2

112^2+384^2＝400^2

总结如下：给定一个复数 a＋bi，令a＝√(2•n^2)，b＝√(2•p^2)，n，p，k 都是正整数，n 和 p 的取值可以是不同的，则(√(2•n^2)+√(2•p^2)i)^(2•k^2) 的实部与虚部的平方和满足勾股定理，把上式括号内的复数乘以一个整数得到的复数的实部与虚部的平方和也满足勾股定理。

(√2+√8i)^2•(√18+√8i)^2＝-252-64i

(√2+√8i)^2•(√18+√8i)^6＝150672-90496i

(√2+√8i)^4•(√18+√8i)^6＝

-180064+1748352i

(√2+√8i)^2•(√18+√8i)^4•(√2+√18i)^6＝47308800-26201600i

………

总结如下：给定几个复数 ，它们的实部是√(2•n^2)，虚部是√(2•p^2)，n，p，k 都是正整数，n 和 p 的取值可以是不同的，k的取值必须是偶数，也可以取不同的偶数，则

((√(2•n^2)+√(2•p^2)i)^k) •((√(2•n^2)+√(2•p^2)i)^k)

•((√(2•n^2)+√(2•p^2)i)^k)………

的实部与虚部的平方和满足勾股定理，当复数的实部与虚部取无理数时，得出的规律与当复数的实部与虚部取无理数时得出的规律是完全相同的，不同的是有限制条件，根号下的数必须是 2•n^2 ，不满足这一条件上述结论不成立。

(√2/√5+(√8/√5)i)^2＝-1.2+1.6i

(√2/√20+(√8/√5)i)^2＝-1.5+0.8i

(√2/√80+(√8/√5)i)^2＝-1.575+0.4i

(√2/√80+(√8/√20)i)^2＝-0.375+0.2i

(√2/√80+(√8/√80)i)^2＝-0.075+0.1i

(√2/√80+(√8/√320)i)^2＝0.05i

…………

上式中，除去最后一个，计算结果的实部与虚部的平方和都满足勾股定理，作乘方运算的因子的实部与虚部都是无理数，而乘方后的结果却都是有理数。

(11+60i)/(3+4i)＝10.92+5.44i

10.92^2+5.44^2= 12.2^2

(5+12i)/(3+4i)＝2.52+0.64i

2.52^2+0.64^2＝2.6^2

(15+20i)/(14+48i)＝0.468-0.176i

0.468^2+0.176^2＝0.5^2

…………

上述算式超出了整数范围，即所有的勾股数不再是整数，变成了小数，因此，可以推断，勾股定理在有理数范围内成立。

同样的，勾股定理在无理数范围内也应该成立，例如：

√3^2+√5^2＝√8^2

这个式子不能简单看作 3+4=7，在一个三角形中，两边之和是不可能等于第三边的，但如果两边的长度分别是√3 和 √4，那么，斜边的长度就等于

√7(直角三角形)，可以和3^2+4^2＝5^2作类比，由此判断，勾股定理在实数范围内是成立的。勾股定理等价于实数的加法运算，也等价于复数的加法运算。再举几例

1^2+(√2)^2＝√3^2

1^2+2^2＝√5^2

√3^2+√4^2 ＝ √7^2

2^2+2^2＝√8^2

√3^2+√5^2 ＝ √8^2

2^2+√2^2＝√6^2

√5^2+√2^2＝√7^2

3^2+1^2＝√10^2

3^2+√2^2＝√11^2

1^2+1^2＝√2^2

π^2+π^2＝(π√2)^2

(3π)^2+(4π)^2＝(5π)^2

我把上面的算式画在了下图中。

最外面的直角三角形对应着 3^2+4^2＝5^2。

内部的红色直角三角形对着 1^2+1^2＝√2^2， 2^2+2^2＝√8^2，3^2+3^2＝√18^2。这里再次出现了 2n^2。凡是平方和等于 2n^2 的点都在一条直线上

。即 √2，√8，√18……是线性关系。所有在一条直线上的无理数都是线性关系。勾股数可以由无理数构成。

复数也是近似满足勾股定理的，下图反应了复数的运算与勾股定理的关系。

第一张图中的绿色线既是两个复数的平方和，也是两个实数的平方和，即分别在两个直角三角形中，两个复数的平方和等于两个实数的平方和。而在复数运算的直角三角形中，分别代表两条直角边的复数的平方和并不等于代表直角三角形斜边的复数的平方和。即  (7+17i)^2+ (48+20i)^2 不等于(55+37i)^2,只有当两个复数中的一个的模非常小，而另一个复数的模相对第一个复数非常大的情况下，复数才满足勾股定理。也就是说任意两个相互重直的复数，若要使它们的平方和满足勾股定理，其中一个复数的实部与虚部要近似为零，而另一个复数要相对较大。如果把这种情况推到极限，即其中一个复数无限小，就可以得出任何向量与 0 向量垂直，当其中一个复数等于0时，勾股定理也就失效了。举例如下

任给两个复数，当然这里用共轭复数来计算，其实任意取两个相互垂直的复数计算，得出的结论是相同的。

0.00390625+0.00390625i   和

1.732055212-1.732055212i

arg((0.00390625+0.00390625i))-arg((1.732055212-1.732055212i))＝1.570796327 (两个复数相互垂直)

(0.00390625+0.00390625i)^2+(1.732055212-1.732055212i)^2＝-5.999999997i(两个复数的平方和)

((0.00390625+0.00390625i)+(1.732055212-1.732055212i))^2＝0.0270633627-5.999999997i(两个复数的和的平方，两个相互垂直复数的和对应直角三角形的斜边)

0.0270633627-5.999999997i≈-5.999999997i

由下列算式可以看出纯虚数也满足勾股定理，这反映出一种对称。

(24i)^2+26^2＝10^2

(60i)^2+65^2＝25^2

(60i)^2+61^2＝11^2

(5i)^2+13^2＝12^2

(48i)^2+50^2＝14^2

(3i)^2+(4i)^2＝(5i)^2

(6i)^2+(8i)^2＝(10i)^2

(24i)^2+(7i)^2＝(25i)^2

…………

由上得出如下结论：复数 (实数，纯虚数)满足勾股定理，虚数近似满足勾股定理，但严格的讲，虚数不满足勾股定理，只有在趋于某种极限条件下，勾股定理才成立，这种极限条件就是：直角三角形中，代表其中某一条直角边的复数必须要无限小，当它的模等于 0 时，就是这个复数(复数也表示向量)与 0 (向量)正交。在非 0 向量与 0 向量正交的情况下，直角三角形也就不存在了，勾股定理也就失效了。

两个共轭复数复数的平方和与这两个复数的和垂直。

最后介绍一个勾股定理：

√1^2+√1^2＝√2^2

对应的勾股数是：(√1，√1，√2)

此式写成恒等式就是大家熟悉的

1 + 1＝ 2 (这不是勾股定理，但这种书写方式便于记忆)