量子场论（一）：简谐振子的正则量子化

一维简谐振子的哈密顿量为：

其中是质量，是角频率。第一项是动能项，第二项是势能项。在量子力学中，把坐标与动量这对共轭量视为厄米算符，满足正则对易关系：

现在构造两个非厄米的无量纲算符：

称为湮灭算符，称为产生算符。两者互为对方的厄米共轭算符。两者的对易关系为：

用这两个算符来反表示坐标和动量算符：

从而，哈密顿算符就可以表达成：

由对易关系得知，于是：

其中是厄米算符，称为粒子数算符。对于任意量子态的期待值非负：

因此，哈密顿算符是正定算符，

设是的本征态，归一化为它满足本征方程：

由于所以本征值非负。利用对易子公式：

推导出：

因此，有：

这样可以推导出：

可见，和都是的本征态，本征值分别为和也就是说：

其中和是归一化常数。产生算符能把本征值为的态变成本征值为的态，因此也称为升算符。湮灭算符能把本征值为的态变成本征值为的态，因此也称为降算符。为了确定归一化常数，进行以下推导：

将归一化常数取为正实数，我们就得到：

从的某个本征态出发，用降算符接连作用，得到本征值逐步减小的一系列本征态：

本征值分别为：

由于 所以必定存在一个最小本征值它的本征态满足：

于是：

可见即：

反过来，从出发，用升算符接连作用，得到本征值逐步增加的一系列本征态：

它们的本征值分别为：

所以，本征值是非负整数，是量子化的。本征态可以表示为：

为了确定归一化常数进行下面的运算：

取归一化常数为正实数，则有于是：

从（1.7）也可以看出，也是哈密顿算符的本征态：

相应的能量本征值为：

基态的能量本征值并不为零，而是称为零点能。我们可以把看做真空态，把的看做含有个声子的激发态。粒子数算符描述声子数。产生算符的作用是产生一个声子，湮灭算符的作用是湮灭一个声子。