【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep43】第二波习题来了~

本来想要今天能够把这部分习题解决的，结果发现，码出来字还比较多，才4题就2400多字了，所以今天就聊这四题，剩下的明天继续！

32极限求法的例题

例1、例2对应的是两个重要的函数：多项式函数、有理分式函数——

1.多项式函数对应的数列——

P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak——

分析思路——考虑到“任意有限无穷小的和仍为无穷小”以及“收敛数列可以表示为常数与无穷小和的形式”——

1. P（n）=n^k[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]；

2. n^k显然是无穷大，而括号里面除了a0，其余各项都是无穷小，故而括号内这个式子趋向于a0；

3. 由此P（n）为无穷大。

2.有理分式函数对应的数列——

取P（n）为任意多项式函数对应的数列，Q（n）是非零多项式函数对应的数列，则有理分式函数即为P（n）/Q（n）：P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak，Q（n）=b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj ——分类讨论：

1. k=j——P（n）/Q（n）=[a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak]/[b0n^k+b1n^（k-1）+……+bk-1n+bk]=[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/[b0+(b1/n)+……+bk-1/n^（k-1）+bk/n^k]，分子极限为a0，分母极限为b0，再由数列极限的除法性质，P（n）/Q（n）趋向于a0/b0；

2. k>j——P（n）/Q（n）=[a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak]/[b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj ]=n^k[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/n^j[b0+(b1/n)+……+bj-1/n^（j-1）+aj/n^j]=[n^（k-j）]{[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/[b0+(b1/n)+……+bj-1/n^（j-1）+bj/n^j]}，由1我们知道大括号内有理数列趋向于a0/b0，n^（k-j）趋向于无穷大，所以P（n）/Q（n）此时为无穷大；

3. k<j——分析同2，P（n）/Q（n）此时为无穷小。
   

这两种类型的数列或者函数都极其重要，尤其是学到后面泰勒公式、不定积分等部分，就更明显了。

例3、例4的思想类似于后面我们求定积分的思想，也是最经典的积分应用的习题其中之二——

3.求三角椎体的体积公式

已知三棱椎体底面积为S，高为h，我们已知三棱柱体的体积=底面积*高——

1. 我们将三棱锥的高等分成n份，那么自然每个三棱柱高为h/n，按照这些高度平行于底面依次将三棱椎体切割成n份；

2. 三棱锥的每一份，都拥有一个较大的截面和较小的截面；

3. 三棱锥每一份的体积，都位于以较大的截面为底的三棱柱与以较小的截面为底的三棱柱之间；

4. 由小到大得到的所有截面都与三棱椎体底面相似，且对应边长比例由上到下为0：（1/n）：（2/n）：……：（n/n），面积比为0：（1/n）^2：（2/n）^2：……：（n/n）^2；

5. 我们求所有以较大的截面为底的三棱柱的体积和V'=（h/n）[（1/n）^2+（2/n）^2+……+（n/n）^2]S=[（Sh/n）（1+4+……+n^2）]/（n^2）=Sh{[n（n+1）（2n+1）]/（6n^3）}=Sh[（2n^3+3n^2+n）/（6n^3）]，我们由例2知这个体积当n趋向于无穷的时候，V'趋向于（1/3）Sh；

6. 我们求所有以较小的截面为底的三棱柱的体积和V=（h/n）{（0/n）^2+（1/n）^2+……+[（n-1）/n]^2}S={（Sh/n）[0+1+……+（n-1）^2]}/（n^2）=Sh{[n（n-1）（2n-1）]/（6n^3）}=Sh[（2n^3-3n^2+n）/（6n^3）]，我们由例2知这个体积当n趋向于无穷的时候，V趋向于（1/3）Sh；

7. 又由于椎体体积V锥满足V<V锥<V'，利用夹逼准则：得到三角锥体体积公式V锥=（1/3）Sh。

4求抛物线与x轴围成的图形的面积

已知抛物线公式为y=ax^2（a>0），是一条开口朝上，函数值恒为正数，过原点的图线，我们要求（-x，x）函数图线与x轴围成的图形的面积，和例3同理，我们用切割求和的方法得到——

1. 因为图线对称，我们求出（0，x）之间图线与x轴围成的面积然后乘以2即可；

2. 将（0，x）分为n份，然后得到n个长度为x/n的小线段，端点坐标分别为0、x/n、2x/n、……（n-1）x/n、nx/n；

3. 每一个端点对应的函数值分别为：0、a（x/n）^2、a（2x/n）^2、……、a[（n-1）x/n]^2、a(nx/n)^2；

4. 每一个小线段，都产生一个较大的函数值和较小的函数值；

5. 每一份小线段与函数图线围成的面积，都位于以较大的函数值为高的矩形与以较小的函数值为高的矩形之间；

6. 我们求所有以较大的函数值为高的矩形的面积和S'=（x/n）{a（x/n）^2+a（2x/n）^2+……+a[（n-1）x/n]^2+a(nx/n)^2}=[a（x/n）^3][1+4+……+（n-1）^2+n^2]=[a（x/n）^3]{[n（n+1）（2n+1）]/6}=ax^3[（2n^3+3n^2+n）/6n^3]，我们由例2知这个面积和当n趋向于无穷的时候，S'趋向于（1/3）ax^3；

7. 我们求所有以较小的函数值为高的矩形的面积和S=（x/n）{a（0/n）^2+a（x/n）^2+……+a[（n-2）x/n]^2+a[（n-1）x/n]^2}=[a（x/n）^3][1+4+……+（n-1）^2]=[a（x/n）^3]{[n（n-1）（2n-1）]/6}=ax^3[（2n^3-3n^2+n）/6n^3]，我们由例2知这个面积和当n趋向于无穷的时候，S趋向于（1/3）ax^3；

8. 又由于所求面积S围满足S<（1/2）S围<S'，利用夹逼准则：得到所求面积S围=2（1/3）ax^3=（2/3）x（ax^2）=（2/3）xy。

明天继续！