极限、导数和积分为什么是精确值的个人理解

对于下式

这个等式说明的是x 趋近于x0的这个无限过程的结果等于x0,而并不是说x=x0。既然我们假定数轴是由一个一个的点构成的，那我们就可以假设最靠近0的那个点存在，但这个点我们无法确定它的数值。我们不管这个a点能不能用数字表示，只要认为它存在就可以了。

如图所示，我们假设a点是最靠近0的那个点，注意，0点和a点之间没有连线，这是因为我们本来就假设a是最靠近0的那个点，中间当然没有其他的点。有了这个假设以后，我们就可以认为，

当这个极限当x越过a点时，这个表达式就成立，因为x这个点的位置，只能要么用0 表示，要么用a表示。或者更进一步，我们还可以假定，0点和a点之间虽然已经不存在其他的点，但当x点向着0点的方向越过0点和a点之间距离的一半的时候，那么对于x这个点来说，就只能用0来表示了，因为这段距离内已经没有其他的点可以用来表示x这个点的位置了。这样的过程也可以解释极限值为什么是精确值。如下图所示。

再考虑导数为什么是精确值。

参考上图，以前面的假设为基础，现在要求出P0点的导数值。现在假设，曲线上的P点是曲线上最靠近P点的第一个点，PP0这两个点的连线和P0点的切线（直线TP0）在PP0这段距离上完全重合，所以，P0点的导数就等于P点的纵坐标除以它的横坐标，也就是说，按照上面的解释，P点的导数值就精确地等于这一点的斜率。

再考虑积分值为什么是精确值。

如上图，考虑矩形Ai。如果要使得积分值是精确值，则必须三角形mnp的面积为0。那怎么样才能认为mnp的面积为0呢？np是垂直于x轴的直线，我们现在假设，在曲边梯形无限细分的过程中，出现这种情况：对于垂线np来说，最靠近于n这个点的第一个点不是p,而是q,也就是说，p处于n以及最靠近它的第一个点q之间，也就意味着，p这个点的位置已经没有任何一个数字能够表示，也就是np的长度无法用一个数值表示，从而三角形mnp的面积也就不存在，所以，这个时候可以认为三角形mnp的面积等于0，从而可以认为积分值是精确值。

回顾一下极限理论的提出过程：

极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。

极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现是在沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但直至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。

从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。

本人没看过上面两本书，但真的很想知道，当初牛顿、柯西等人提出这个极限思想的时候，他们到底是怎么想的，等本人死了以后，如果能见到柯西，就想当面问问他，他当时是怎么考虑极限是精确值这个概念的？是不是和我这篇文章写的有相通的意思？