数学杂谈（3）论分段函数

2023-05-03 14:03 作者:Ymprover 0人读过 | 我要投稿

一、前言

昨天看到数学大佬 @Jack明天三连了吗（他之前发的网格作图堪称神作）发了一期讨论分段函数的视频，不禁想起了当年类似的情景，有些热血沸腾。出于对代数美学的向往，我曾决心“抛弃”几何与分类讨论，虽说是有些过激的行为，但也颇有乐趣。

之前发过一篇“抛弃”几何的文章，自诩为“严格证明”，却尽显思维之不严谨，但这是当年的些许回忆，纸稿找不到了，便没有从B站删去，让各位见笑了。

如今便来复现一下本人2021年4月的一些情景，并加入一些新的思考！

二、正文

构造 $m(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%20%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7B2x%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~x%3E0%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3C0%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

（当然，这是可以改写成含根式的形式的，见后文）

考虑函数平移，则 $m(x-p)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~x%3Ep%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Cp%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%0A~%2C~p%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$

（另有， $%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%20%2B1%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7B2x%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A0%20~%2C~x%3E0%5C%5C%0A1%20~%2C~x%3C0%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ 考虑函数平移同理从略）

可以证得：

若 $a%3Cb$ ，则 $m(x-a)-m(x-b)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~a%3Cx%3Cb%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Eb%20~~%5Crm%7Bor%7D~~%20%5Ctextit%20x%3C%20%5Ctextit%20a%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

作差过程消去常数项，则上式等价于 $%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Cfrac%7B%7Cx-a%7C%7D%7B2(x-a)%7D%20-%5Cfrac%7B%7Cx-b%7C%7D%7B2(x-b)%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~a%3Cx%3Cb%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Eb%20~~%5Crm%7Bor%7D~~%20%5Ctextit%20x%3C%20%5Ctextit%20a%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%0A~(a%3Cb)%7D$

由此可以写出分段函数合表达式通式：

$f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Af_1(x)%2C~~~~~~x%3Cx_1%0A%5C%5Cf_2(x)%2C~~~~~~x_1%3Cx%3Cx_2%0A%5C%5Cf_3(x)%2C~~~~~~x_2%3Cx%3Cx_3%0A%5C%5C...~~~~%2C~~~~~~...%0A%5C%5Cf_%7Bn-1%7D(x)%2C~~x_%7Bn-2%7D%3Cx%3Cx_%7Bn-1%7D%0A%5C%5Cf_n(x)%2C~~~~~~x%3Ex_%7Bn-1%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

$%3D%5Cbigg(-%5Cfrac%7B%7Cx-x_1%7C%7D%7B2(x-x_1)%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)%C2%B7f_1(x)%2B%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7Bn-1%7D%20%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B%7Cx-x_%7Bi-1%7D%7C%7D%7B2(x-x_%7Bi-1%7D)%7D%20-%5Cfrac%7B%7Cx-x_%7Bi%7D%7C%7D%7B2(x-x_%7Bi%7D)%7D%5Cbigg)%C2%B7f_i(x)%0A%2B%5Cbigg(%5Cfrac%7B%7Cx-x_n%7C%7D%7B2(x-x_n)%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cbigg)%C2%B7f_n(x)$