对篮球场上一个现象的思考

2020-03-01 12:01 作者:近卫上天大队 0人读过 | 我要投稿

在打篮球时，如果我们在篮筐附近出手的话，许多时候我们会选择借助篮板将球打进，通常我们称之为“擦板”。这种技术在篮球场上再普通不过了。不过我发现，在“擦板”时，水平方向上篮球是满足“出射角等于入射角”这一规律，就算不严格遵循这一规律，看起来也不会有什么大的偏差，大家想一想自己上篮时的身位，擦板的点，还有篮筐的位置，就能明白这一点；但是，竖直方向上，我们会发现，本来球是向上运动的，擦板之后球变成向下运动，也就是说，竖直方向上“出射角等于入射角”这一规律就失效了。这是为什么呢？本文通过建立简单的模型，来对这一现象进行粗浅的分析。

通过思考，笔者初步猜想这是摩擦力的缘故，因为重力似乎不能引起如此大的变化。这个猜想可由以下现象初步验证：将一个篮球向前抛出，同时使它向后旋转，这个球会自己弹回来。

我们分析一下与地面碰撞的时候，球的受力。假设碰撞前球一瞬间的速度是竖直向下的，球的旋转方向如图所示。诚然，球会受到很多力，但是我们可以忽略掉那些影响很小的力，而只分析在这个过程中占主导地位的三个力：地面的作用力N，竖直向上；重力G，竖直向下，以及摩擦力f，水平向右。在重力以及支持力的共同作用下，球会弹起来，而在水平方向上，由于受到向右的摩擦力，球会具有向右的速度。也就是说，球反弹的原因是受到了水平方向的摩擦力，这个摩擦力改变了球的运动状态。

同样的，当我们擦板的时候，由于篮板对球有竖直方向上的摩擦力的缘故，所以我们会观察到速度方向改变的现象。

定性的分析，就到此为止了。但是，这个分析又引出了另一个的问题，那就是：为什么水平的方向上摩擦力的影响会“这么小”？为了解释这个问题，就不得不建立一个模型，列几条公式，去描述这个现象了。

不过，在建立模型之前，有必要介绍几个概念以及公式，以便于模型的理解：

1、向量的外积

对于两个向量 A，B，定义运算A×B，则结果为一个新的向量C，这个向量C垂直于向量A、B所在的平面，向量C方向由右手螺旋定则确定：伸出右手，将四只指向A的方向，当右手的四指从B以不超过180度的转角转向B时，竖起的大拇指指向是A×B的方向，大小为|A||B|sinθ，其中θ为两个向量的夹角，取值是0到180°。如图。

2、转动惯量

这是一个描述物体“转动惯性”的物理量，转动惯量越大，说明这个物体越难改变其转动的状态。应当注意的是，转动惯量是对于某一条转轴而言的，因此使用时要说明是对哪一条转轴的转动惯量。对于一个距离转轴为R，质量为m的质点，其转动惯量

对于一个连续的刚体，则要通过微积分来计算其转动惯量。

3、力矩

设一个力F作用在与O点相距r处的一个质点上，则力矩M定义为

其中r为从O点到力所作用的那一点的位置向量（矢量）。初中时候学的杠杆平衡实际上就是杠杆所受合力矩为0的结果，即两边的力产生的力矩相互抵消了。

4、角速度矢量

角速度（也叫角频率，圆频率）是描述物体绕某一定轴旋转快慢的物理量，有时为了研究的方便将它定义为一个矢量ω，同样满足右手螺旋定则：伸出右手，四指顺着旋转的方向环抱转轴，则大拇指所指的方向就是角速度矢量的方向。对于一个在空间中旋转的刚体，可以将它的角速度矢量分解为沿坐标轴的分量以便于研究，即把刚体的实际旋转看成是分别绕x轴，y轴，z轴旋转的叠加效果。比如说，当我们考虑xOy平面离刚体的运动时，我们可以只考虑沿z轴的角速度的分量[1]。

5、角动量

角动量也是矢量，是反映物体转动的剧烈程度的物理量，其定义为

6、角动量定理

角动量的变化率等于（合）力矩，即

7、转动动能

转动动能也是反映物体转动的剧烈程度的物理量。这个为一个标量。表达式为

以上就是一些概念公式定理的介绍。至于初等教育中会提到知识点，这里不再赘述。下面就是这个模型的介绍。设想有一堵墙，有摩擦，然后地面是光滑的。有一个球，以一定的速度滑向墙，同时，从上往下看，球在转动，并且转轴垂直于地面（平行于墙面）。

建立空间直角坐标系（以便于将矢量运算转为代数运算），如图。其中z轴设垂直于纸面向外，即逆时针旋转时角速度ω指向z轴正方向，小球平行于墙的速度分量为vx，垂直于墙的速度分量为vy，接触过程持续Δt。假设接触过程中摩擦力恒为f。小球质量为m，半径R，对于过球心的转轴的转动惯量为I。由动量定理跟角动量定理，我们有方程

(1)

消去fΔt这一项，有

(2)

式（2）里面有两个未知数Δω，以及Δvx，因此要求解（2），还要另一个条件来列方程。这一个条件是什么呢？我们再一次考虑摩擦力的性质。摩擦力阻碍相对运动，如果没有相对运动（的趋势），摩擦力就会消失。因此摩擦力的最终效果是相对运动消失。对于一个旋转的球来讲，在碰撞的过程中的摩擦取决于球离墙最近那一点的速度。因此，我们可以假设，在碰撞后，球离墙最近的那一点对于墙的速度为0，即

(3)

其中

(4)

联立（2）（3）（4），解得

(5)

有兴趣的读者可以自己检验一下这个结果是否违反能量守恒定律。

接下来将这个模型代入到球场中去检验。首先就是要计算出篮球对于其过中心的转轴的转动惯量。篮球由其内部的空气以及外面一层“球壳”组成，假设“球壳”的厚度可以忽略不计，且这一层球壳质量分布均匀。标准7号篮球的质量在600至650克之间，直径为24.6厘米，内部气压为1.6×10^5帕斯卡，通过理想气体状态方程[2]，可以计算出在27℃下内部气体的质量为14.5克，可见篮球绝大部分质量都分布在“球壳”上，因此把篮球当成一个厚度为0却具有质量的理想薄球壳近似处理，不仅简化了计算，而且误差不大。对于理想的薄球壳，其对于过球心的转轴的转动惯量

(6)

接下来就是建立一个坐标系，以便我们描述球的运动。建立空间直角坐标系，x轴垂直于篮板，y轴平行于篮板且水平，z轴垂直于地面，如图。忽略空气对球的一切作用力，同时，在打板的过程中，我们可以不计重力。联立（5）（6），可以得出下列结论：

(7)

从这里我们可以看出，对于z方向，教练所要求的球“向后转动”，意味着一个正的ωy，所以在这个方向上的速度会减小乃至反向。至于水平方向“反射角等于入射角”，其实亦为我们的错觉——根据“向后旋转”的要求，球的转轴应该是水平的，这意味着ωz为0，在这种情况下，沿y方向的速度将是其初速度的0.6倍，不过考虑上x方向上的速度在碰撞后会减小，所以在大多数时候我们观察不到角度的显著变化——当然，有时候还是能看到比较明显的变化的，据我的观察，一般是在拉杆上篮的时候容易观察到“入射角”跟“反射角”的明显差异，这种情况下球的转轴不是水平的。

实际上，这个模型忽略了许多因素，比如说球的形变，比如说篮架的振动，等等。我们的分析是经过简化的，但抓住了要点——球与篮板间的摩擦了。通过一步一步消除那些不重要的细节，我们就得到了一个简单的、不需要深奥的数学就可以分析的模型。

下面就是通过一些实验来验证我们的模型[3]。设碰撞前球沿y轴方向的速度为vy，令ωz为0[4]，得碰撞后沿y轴的速度

(8)

我们可以选取一段上篮的视频来验证我们的结论。

通过动态图可以看出球在打板前的转轴是基本上水平的，满足（8）的条件。

除了与篮板碰撞的一小段时间内之外，篮球的“横向移动”可以视作匀速的，因为空气阻力可以忽略。间隔相同的时间画一条竖直的红线，红线与该时刻球的最左边相切，一共有10条红线，9段时间。球是从右到左的。可以看出中间有一段的间隔特别不同，所以我们测量前四段跟后四段的比值。通过画图软件可以测得，前四段在图片上占据162个像素，后四段占据95个像素。