《几何原本》命题2.8【夸克欧氏几何】
命题2.8：
如果任意两分一条线段，由原线段好一个小线段构成的矩形的四倍与另一小线段上正方形的和，等于原线段加上前一小段上的正方形
已知：线段AB，点C在AB上
求证：4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S正方形（AB+BC）2
解：
在AB延长线上截BD=BC
（公设1.2＆命题1.3）
在AD上建正方形AEFD
（命题1.46）
作如下图形
证：
∵BD=KN，BC=GK
（命题1.34）
且BD=BC
（已知）
∴GK=KN
（公理1.1）
同理QR=RP
∵AD∥MN
（已知）
∴S正方形BCGK=S正方形BDNK
（命题1.36）
∵MN∥OP
（已知）
∴S正方形GKRQ=S正方形KNPR
（命题1.36）
∵▱CDPQ中，S正方形BCGK=S正方形KNPR
（命题1.43）
∴S正方形BCGK=S正方形BDNK=S正方形BCGK=S正方形KNPR
（公理1.1）
∴S正方形BCGK+S正方形BDNK+S正方形BCGK+S正方形KNPR=4S正方形BCGK
（公理1.2）
∵BC=BD，BD=BK=CG，BC=GK=GQ
（已知）
∴CG=GQ
（公理1.1）
∵AE∥CH
（已知）
∴S矩形AC×CG=S矩形MG×GQ
（命题1.36）
∵QR=RP，OP∥EF
（已知）
∴S矩形PF×PR=S矩形RL×RQ
（命题1.36）
∵▱MKLE中，S矩形MG×GQ=S矩形RL×RQ
（命题1.43）
∴S矩形AC×CG=S矩形MG×GQ=S矩形PF×PR=S矩形RL×RQ
（公理1.1）
∴S矩形AC×CG+S矩形MG×GQ+S矩形PF×PR+S矩形RL×RQ=4S矩形AC×CG
（公理1.2）
∵S正方形BCGK+S正方形BDNK+S正方形BCGK+S正方形KNPR=4S正方形BCGK
（已证）
∴S磬折形STU=4S矩形AB×BK
（公理1.2）
∵BK=BD=BC
（已知）
∴S矩形AB×BK=S矩形AB×BC
（公理1.1）
∴S磬折形STU=4S矩形AB×BC
（公理1.1）
∵▱ACQO中，AC=QO
（命题1.34）
∴S正方形AC2=S正方形QO2
（公理1.1）
∴4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S磬折形STU+S正方形QO2
（公理1.2）
∵S磬折形STU+S正方形QO2=S正方形（AB+BC）2
（已知）
∴4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S正方形（AB+BC）2
（公理1.1）
证毕
此命题在《几何原本》中再未被使用
