初中数学高中数学一道看似不简单的带根号的不等式的证明题

2020-09-05 10:20 作者:雷说数学 0人读过 | 我要投稿

为了便于大家搜索问题，我们将问题文字表述如下，大家可以跳过，直接看题目图片。

证明：√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2倍(a+b+c)

证明：根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥根号2倍(a+b+c)

证明：根号(a2+b2)+根号(b2+c2)+根号(c2+a2)≥根号2倍(a+b+c)

证明：根号(a*a+b*b)+根号(b*b+c*c)+根号(c*c+a*a)≥根号2倍(a+b+c)

一、代数法证明

首先观察，我们发现要证明的不等式左侧根号下总共含有两个a、两个b、两个c，于是我们可以设法在右侧也构造两个a、两个b、两个c。于是问题就转化为求证：√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2倍[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/2。

经过观察分析，发现，只需要证明√(a^2+b^2)≥√2倍(a+b)/2。

如上图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AC=a+b+c，AC=√2AB=√2倍(a+b+c)。

其中蓝色的辅助线分别垂直于AB和BC。AD=CG=c，DE=FB=a，EB=GF=b。DM=BF=a，NG=EB=b，MH=DE=a，NH=GF=b，所以，在Rt△ADM中AM=√(c2+a2)，在Rt△MHN中MN=√(a2+b2)，在Rt△NGC中AM=√(b2+c2)。

根据“两点间直线距离最短”，已知AM+MN+NC≥AC，也即√(c2+a2)+√(a2+b2)+√(b2+c2)≥√2倍(a+b+c)，上述不等式得证。

大家发现，做数学题，不管是哪种解法，首先在于观察思考。其次，要善于利用联想类比的思想，然后将问题转化简化。最后，要学会总结归纳，在日积月累中形成一种数学直觉。不管如何，扎实的数学基础和良好的解题习惯是不可或缺的。

详细解说视频，请点击下方链接观看。

《初中数学高中数学带根号的不等式的证明-代数法证明》：

《初中数学高中数学带根号的不等式的证明-数形结合法》：

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