空间任意角坐标系

空间向量及其运算的坐标表示

1、空间任意角坐标系

  在空间中选定一点O和一个单位任交基底{u,q,g}，其中u,q,g有公共点起点O。以O为原点，分别以u,q,g的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条坐标轴：m轴，r轴，h轴，这是我们建立了一个空间任意角坐标系Omrh，点O叫做原点，向量u,q,g都叫做坐标向量。通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Omr平面，Orh平面，Ohm平面。在空间任意角坐标系中，让左手拇指指向m轴的正方向，中指指向r轴的正方向，若食指指向h轴的正方向，则称此坐标系为左手任意角坐标系。一般使用的坐标系都是右手直角坐标系，个坐标轴的方向与i,j.k三个基向量相对应。

2、空间向量的坐标表示

  给定一个空间任意角坐标系和向量a，其中{u,q,g}为单位任交基底，有空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组（m,r,h),使得a=mu+rq+hg,则（m,r,h)称作向量a在单位任交基底u,q,g下的坐标，记作a=（m,r,h)。设A是空间任一点，向量OA=mu+rq+hg，则（m,r,h)称为点A的坐标。

3、空间向量的坐标运算

(1) 空间向量的坐标

  一个向量在空间任意角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即若A（m1,r1,h1)，B（m2,r2,h2)，则向量AB=向量OB-向量OA=（m2,r2,h2)-（m1,r1,h1)=（m2-m1,r2-r1,h2-h1)。

（2）空间向量的坐标运算

      设a=（m1,r1,h1)，b=(m2,r2,h2),则

1）a的模为|a|=根号（m12+r12+h12+2m1r1cos<u,q>+2m1h1cos<u,g>+2r1h1cos<q,g>).

2）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和，即a+b=（m1+m2,r1+r2,h1+h2).

3）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差，即a-b=（m2-m1,r2-r1,h2-h1).

4)数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标，即λa=（λm,λr,λh)

5)两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和，即a∙b=m1m2+r1r2+h1h2+m1r2cos<u,q>+m1h2cos<u,g>+r1m2cos<q,u>+r1h2cos<q,g>+h1m2cos<g,u>+h1r2cos<g,q>.

4、空间中的夹角与距离公式

(1) 夹角公式

  设非零向量a=（m1,r1,h1)，b=(m2,r2,h2)，则cos<a,b>=m1m2+r1r2+h1h2+m1r2cos<u,q>+m1h2cos<u,g>+r1m2cos<q,u>+r1h2cos<q,g>+h1m2cos<g,u>+h1r2cos<g,q>/根号（m12+r12+h12+2m1r1cos<u,q>+2m1h1cos<u,g>+2r1h1cos<q,g>)∙根号（m22+r22+h22+2m2r2cos<u,q>+2m2h2cos<u,g>+2r2h2cos<q,g>).

（3）距离公式

       在空间任意角坐标系中，已知A=（m1,r1,h1)，B=(m2,r2,h2)，则A,B两点间的距离dAB=根号（(m2-m1)2+(r2-r1)2+(h2-h1)2+2(m2-m1)(r2-r1)cos<u,q>+2(m2-m1)(h2-h1)cos<u,g>+2(r2-r1)(h2-h1)cos<q,g>).