解题记录 #1

2023-06-18 00:14 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：INNOCENT

作画：Hiten

https://www.pixiv.net/artworks/98259515

若 $x%5E2%2By%5E2%5Cleq1$ ，则 $x%5E2%2Bxy-y%5E2$ 的取值范围是

A. $%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$

B. $%5Cleft%5B-1%2C1%5Cright%5D$

C. $%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$

D. $%5Cleft%5B-2%2C2%5Cright%5D$

答案 C

解析

方法一：[三角换元]

设 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ax%3Dr%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%0Ay%3Dr%5Csin%5Ctheta%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ ， $0%5Cleq%20r%5Cleq1$ ， $%5Ctheta%20%5Cin%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ .

于是
$x%5E2%2Bxy-y%5E2%5C%5C%3Dr%5E2%5Cleft(%5Ccos%5E2%5Ctheta%2B%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta-%5Csin%5E2%5Ctheta%5Cright)%5C%5C%3Dr%5E2%5Cleft(%5Ccos2%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csin2%5Ctheta%5Cright)%5C%5C%0A%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%5Cleft(2%5Ctheta%2B%5Carctan2%5Cright)%5C%5C%5Cin%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$
所以 $x%5E2%2Bxy-y%5E2$ 的取值范围是 $%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$ .
故选：C.
方法二：[齐次化]
若 $x%3D0$ ，则 $y%20%5Cin%20%5Cleft%5B-1%2C1%5Cright%5D$ ， $x%5E2%2Bxy-y%5E2%3D-y%5E2%5Cin%5Cleft%5B-1%2C0%5Cright%5D$ .

若 $x%20%5Cneq%200$ ，设 $t%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ ，则

$x%5E2%2Bxy-y%5E2%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bxy-y%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%2Bt-t%5E2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%5C%5C%3D-1%2B%5Cfrac%7Bt%2B2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D$
若 $t%3D-2$ ， $x%5E2%2Bxy-y%5E2%3D-1$ .

若 $t%5Cneq-2$ ，
$x%5E2%2Bxy-y%5E2%3D-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%2B2%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bt%2B2%7D-4%7D%5Cin%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C-1%5Cright)%5Ccup%20%5Cleft(-1%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$
综上， $x%5E2%2Bxy-y%5E2%20%5Cin%20%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$ .

所以 $x%5E2%2Bxy-y%5E2$ 的取值范围是 $%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5D$ .
在非等边三角形 $ABC$ 中， $CA%3DCB$ ，若 $O$ ， $P$ 分别为 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外心和内心，点 $D$ 在线段 $BC$ 上，且满足 $OD%20%5Cbot%20BP$ ，则下列说法正确的是

A. $OCP$ 三点共线

B. $OD%20%2F%2F%20AC$

C. $BDOP$ 四点共圆

D. $PD%2F%2FAC$

答案 ACD

解析

设 $E$ 为 $AB$ 的中点.

由于 $CA%3DCB$ ，所以 $O$ ， $P$ 在直线 $CE$ 上.

故 $OCP$ 三点共线.

A说法正确.

由于 $P$ 为 $%5Ctriangle%20ABC$ 的内心，所以 $BP$ 平分 $%5Cangle%20ABC$ .

因为 $%5Ctriangle%20ABC$ 是非等边三角形， $CA%3DCB$ ，

所以 $BA%5Cneq%20BC$ .

所以 $BP$ 不与 $AC$ 垂直.

因为 $OD%20%5Cbot%20BP$ ，所以 $OD$ 不与 $AC$ 平行.

B说法错误.

记 $OD$ 与 $BP$ 交于点 $F$ ，则

$%5Cangle%20BPE%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cangle%20PBE%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cangle%20PBC%3D%5Cangle%20BDF$
所以 $BDOP$ 四点共圆.

C说法正确.

$%5Cangle%20BDP%3D%5Cangle%20BOP%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cangle%20BOA%3D%5Cangle%20BCA$
所以 $PD%20%2F%2F%20AC$ .

D说法正确.

故选：ACD.
已知集合 $A%2CB%2CC%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5C%7B1%2C2%2C3%2C%5Ccdots%2C2020%5Cright%5C%7D$ ，且 $A%20%5Csubseteq%20C$ ， $B%20%5Csubseteq%20C$ ，则有序集合组 $%5Cleft(A%2CB%2CC%5Cright)$ 的个数是

A. $2%5E%7B2020%7D$

B. $3%5E%7B2020%7D$

C. $4%5E%7B2020%7D$

D. $5%5E%7B2020%7D$

答案 D

解析

集合 $%5Cleft%5C%7B1%2C2%2C3%2C%5Ccdots%2C2020%5Cright%5C%7D$ 中的每个元素，都有以下状态：

(1) 不在 $C$ 中，不在 $A$ 中，不在 $B$ 中；

(2) 在 $C$ 中，不在 $A$ 中，不在 $B$ 中；

(3) 在 $C$ 中，在 $A$ 中，不在 $B$ 中；

(4) 在 $C$ 中，不在 $A$ 中，在 $B$ 中；

(5) 在 $C$ 中，在 $A$ 中，在 $B$ 中.

所以每个元素共有 $5$ 个状态，整个集合中的所有元素状态共有 $5%5E%7B2020%7D$ 个情况.

每个情况与有序集合组 $%5Cleft(A%2CB%2CC%5Cright)$ 一一对应，所以有序集合组 $%5Cleft(A%2CB%2CC%5Cright)$ 的个数是 $5%5E%7B2020%7D$ .

故选：D.
设 $%5Csigma(n)$ 为正整数 $n$ 的所有正因数之和，求 $%5Csigma(5320)$ .

答案 14400

解析

分解质因数

$5320%3D2%5E3%5Ccdot5%5Ccdot7%5Ccdot19$
所以
$%5Csigma(5320)%3D%5Cleft(2%5E0%2B2%5E1%2B2%5E2%2B2%5E3%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(5%5E0%2B5%5E1%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(7%5E0%2B7%5E1%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(19%5E0%2B19%5E1%5Cright)%3D14400$