高中数学人教B版——补充篇03《等式》

本篇很简单，补充的内容也不多，而且初中大多都学过，就当是给大家复习吧。

01 常见的恒等式

（1）立方和公式

大家可以把等号右边进行整式乘法运算，结果确实是等号左边的代数式。

（2）立方差公式

大家思考一下，立方和公式变成立方差公式，其实就是把原来公式中的  用 进行替换后得出的结果。

（3）两数和的完全立方公式

这个公式其实用整式乘法，将两数和与两数和的完全平方公式相乘后，就可以得出此结果。

（4）两数差的完全立方公式

这个公式也可以利用上文说到的替换法得出。

（5）三数和的完全平方公式

这个公式一开始将  当做整体，连用两次两数和的完全平方公式即可得出。

那么利用上文说的替换法，请大家补充下面这些公式。

02 一元二次方程的解集

一元二次方程  的判别式 ，这个初中就学过。

（1）当  时，方程的解集为   ；

（2）当  时，方程的解集为  ；

（3）当  时，方程的解集为  。注意，此时方程不是无解，是无实数解。以后会学到，这种情况只是在实数范围内无解，在复数范围内是有虚数解的，且这两个解互为共轭复数。以后再细说吧。

03 一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程  的解集不是空集时，

方程的解可以记为  ，

通过计算，我们可以发现 。

这个结论在以后学习圆锥曲线时非常好用，而且它还有另外一个名字叫韦达定理。

当然了，大家现在使用这个结论的前提是方程有实数根。

补充一点，以后学过复数之后，会发现其实  时的两个虚根也是满足这个结论的。

04 方程组的解集

方程组的解集说白了就是组成这个方程组的所有方程各自的解集的交集。解决方程组的常用方法就是初中就学过的消元法，二元一次方程组的解法不再赘述，主要来看一下三元一次方程组。

我们可以把  看作常数，利用①③解出  的值。

  解得

再将结果代入到②中可得 

解得 ，从而得出

所以方程组的解集是 。

顺便说一句，如果把方程看成是对未知数的限制条件的话，那么方程组的解的情况与限制条件的个数及未知数的个数是有关系的。

当然了，限制条件指的是真·限制条件。例如上文的方程组由3个方程组成，这3个方程各不相同，任何一个方程都无法用其他两个方程通过线性运算得到，这样的3个方程都是真·限制条件。如果某个方程可由其他两个方程各自乘一个系数后相加得到，那么这个方程就是由其他两个方程通过线性运算得到的，这样的方程就不是真·限制条件。因为这种方程起到的限制作用由那两个方程完全就可以，所以这种方程直接忽略就好。

当真·限制条件个数少于未知数个数时，方程组有无数组解；当真·限制条件个数等于未知数个数时，方程组有唯一解；当真·限制条件个数多于未知数个数时，方程组无解。