我最近都学了什么||胡言乱语集
读者们或许注意到，作为一个专栏区up，笔者已经有挺长时间没有更过像样的专栏了。或许大家会想知道，我最近学了什么...
首先，可以简单地回答，没学什么。前两个月被各种乱七八糟的事情搞得状态非常糟糕，外加拖延症的影响，up还真是在挺长的一段时间里感觉到没学到什么。
但总不能一直这么懒下去。先简单总结一下多少学了一点的什么...
0 关于量子
想看量子，断断续续也看了不少，但是没有那种完全学会的感觉。曾谨言和Shankar一起看，有一种割裂感，不同的内容连不起来。虽然知道基本原理就那些，基本方程也就那些，但是还是感觉内容很多很杂，一直没有细看。
量子力学中用波函数 描述粒子的状态。在空间中某点观察到粒子的概率密度为
.
用厄米算符 表示可观测量，对 A 的一次观测会使波函数变成其中一个本征态
，测量结果是其对应的特征值
，得到这一结果的概率是
.
系统的哈密顿量同样用算符表示：
态矢的时间演化满足
感觉非相对论的量子差不多就上面这些基本假设，然后基于这些基本假设就有一大堆内容，很多都还没看，有各种势场，原子，自旋...只是一直没细看。（当然上面这些只是提一下，后面可能在单开专栏细讲）
此外，注意到量子里面到处有哈密顿力学的影子。比如说，哈密顿力学中有泊松括号，在量子力学中，就有对易括号与之对应：
而且，二者还满足几乎相同的时间演化规律：
事实上，在理论力学课上也曾提到薛定谔方程的起源，它来自哈雅方程：
1 关于数学
一直感觉数学上还需要更多深入的学习，也一直想看群论、张量之类的内容。也看了一些，像梁灿彬的《微分几何与广义相对论入门》涉及了一些相关知识，但是没空往后看。关于群的内容只知道点概念。
在试图学习更深的数学之前，我还找了丘维声的高代，算是给自己补一下线代，补一下线性空间、酉空间这类比较抽象的概念。毕竟我校线代课真可谓讲成了一坨shi，现在想来，线代真正的灵魂还真是没怎么学到，反而陷入一大堆计算的细节当中。
比如说，关于实对称矩阵，有一个重要的性质，即：
实对称矩阵总是正交相似于对角矩阵，这个对角矩阵的对角元是其特征值，变换的正交矩阵有其正交归一化的特征向量构成。
关于这个性质，只记得我们的线代书上讲了不少，然后证明印象中好像挺复杂不说人话。但是现在回头看倒是觉得挺显然的，这就说明其实我们当时学线代用的教材是真有点糟糕。以及，真正意识到这个性质的显然还得靠基本外文的量子教材...
首先，不难证明厄米矩阵不同特征值对应的特征向量总是正交：
对于特征值简并的情况，其实也就是某个子空间里面所有的向量都是特征向量，那完全可以随便在里面取一组标准正交基，也与其他特征向量全部正交。
也不难证明特征值全是实数，因为：
既然这样，能找到正交的特征向量，顺手归一化自然也是容易的，既然是一组标准正交基，自然就能构成正交矩阵。
而实对称矩阵只不过是个特殊的厄米矩阵而已。
就这样，没了。我是真忘了之前我们线代书是怎么讲得那么麻烦的。
再来继续聊聊关于群的东西...刚刚说到哪了，目前只了解到群的定义，
群的定义：
在集合上定义一种运算；
这种运算是封闭的，满足结合律；
有唯一的单位元；
对每个元素有唯一的逆元。
当然，很多地方也有了关于群模糊的感觉。想了解群论和张量，很大程度上因为学物理时一直能感觉到，哪都有它们。
比如说，本号上第一篇关于理论力学的文章，就是关于刚体力学的，当时还是暑假来着...
如果更深一步地理解刚体的转动，就会知道三维空间的刚体转动可以用一个SO(3)群表示，这个群由全部的行列式为1的3阶正交矩阵组成。当然，知道这个并不一定有什么用，但是确实感觉很多东西变简单了。
再比如说，量子中的自旋1/2系统，对应的则是 SU(2) 群，即所有特殊的2阶酉矩阵构成的群。然后，里面就有著名的泡利矩阵：
再比如说，两个惯性参考系之间，时空坐标的变换：
这里面有个洛伦兹群。
虽然是大概知道了都有哪些地方会出现群，但是确实还不了解群论相关的知识如何帮助我们更好地了解物理体系的数学结构，这也是我后面想进一步学习的内容。
2 关于理力
一学期下来应该说还算是学懂了，但是又没完全懂，比如说之前一直想了解哈密顿力学中的辛几何是怎么回事，这个到现在也没搞清楚...除了知道哈密顿正则方程里面可以通过把坐标和动量共同组成向量 ( 符号) 凑出一个辛矩阵
然后就知道得不多了。
之前还提到想进一步研究如何找到正则变换的合适的母函数。
先回顾一下正则变换，它是把坐标和动量进行变换，但仍然符合哈密顿正则方程：
（说明：以下讨论都直接按单自由度情况，因为对多自由度情况只要将所有 pq 替换为相应向量，对讨论内容没有影响。）
要使一个变换成立，下式一定是母函数F的全微分：
一般来说通过上式就可以完整求出新 PQ 和旧 pq 的关系。但是我们也很难知道要怎么找到一个合适的母函数。
当然后来了解到一个重要的途径，就是解哈雅方程：
如果能强行解出上式的积分 为积分常数，那么不妨把这个积分看作正则变换的母函数，并且
看作新的广义坐标，那么对应的正则变换就可以使
如果变换后的哈密顿量是0，则变换后的广义坐标、广义动量都是守恒量，这样
这样系统的运动就容易求出了。
说着轻松对吧，但是真正折磨的就是解哈雅方程那一步。那可是个偏微分方程。一般来说可以考虑强行分离变量 然后硬解。反正麻烦...
啊对了，顺路一提薛定谔方程的起源，他是进行了一个奇怪的代换
然后，由于
一通操作后可以得到
到目前为止还是经典的。后面配合奇怪的量子化假设(忘了咋搞了)就可得到定态薛定谔方程
就是说，哈雅方程是薛定谔方程的经典极限。
突然又想聊聊张量，之前搞到手一套朗道，《场论》是里面相当厚的一本书，然后也稍微看了点...然后就是张量满天飞。各种上下标，求和约定，...看得我有点乱。总之，感觉这些东西以后会挺重要的。
但是还是没认真看。仔细想想，又没有什么特别想说的。就聊聊一大堆上下标的那种东西，像下面这种
区分上下标实际上是区分向量空间和它的对偶空间。就本人目前的知识水平，觉得向量和对偶向量在很多时候都可以分别理解成线性代数里面的列向量和行向量，比如说，你想进行一个类似点乘的操作，就需要一个行向量和一个列向量才能完成。我又想到了量子力学里面的右矢左矢，感觉它们也像这种关系。
这段时间张量的运算规则也大概了解了。另外，似乎可以说万物皆张量：标量、矢量、矩阵分别是0阶、1阶、2阶张量。
说起来，张量第一次让我印象深刻还是看费曼讲义里面讲弹性力学。小小三维材料，竟然需要四阶弹性张量81个分量才能完全描述其弹性性质。当然这后面又是其他故事了。
也算扯了不少东西，不成体系。后面还得多看书。这篇就先这样吧。
发现理力的东西还聊了挺多的。不过也正常，理力的地位确实也相当重要，里面的思想方法在很多地方都会重现。
