【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep128】连续函数的复合

今天看一个关于复合函数连续性的定理——

73连续函数的叠置

定理：

1. g（y）定义在区间Y内，f（x）定义在区间X内；

2. 对于任意x∈X，有f（x）∈Y；

3. 如果f（x）在x0∈X处连续，g（y）在y0=f（x0）∈Y处连续，则复合函数g（f（x））在x0处连续。

1. 要证复合函数g（f（x））在x0处连续，即证对于任意小数ε>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|g（f（x））-g（f（x0））|<ε；

2. 如果g（y）在y0=f（x0）∈Y处连续，即对于任意小数ε>0，存在σ>0，当0<|y-y0|=|f（x）-f（x0）|<σ时，|g（y）-g（y0）|=|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε；

3. 如果f（x）在x0∈X处连续，即对于2中给定小数σ>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-f（x0）|<σ；

4. 结合2、3：对于任意小数ε>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε，即复合函数g（f（x））在x0处连续。

例子：x^u=e^（u*ln x）

1. x^u=e^（u*ln x），可以看做g（y）=e^y，y=f（x）=u*lnx的复合；

2. 因为g（y）和f（x）都在R+上连续，所以x^u在R+上连续。

到这里！