充分条件和必要条件

充分条件和必要条件

在高中课本中，逻辑排在课程前几章，我觉得这是有原因的，因为学好充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件等等，对以后的课程知识有许多的帮助。理解它们，对一些定理的正向推导和反向应用会起到一些相当大的作用。比如，在后面学到的函数零点知识，就可以使用高中学到的逻辑，缕清思路，判断对错。

零点的定义：对于函数 y=f(x) ，使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点（即零点是一个实数，而不是点坐标）。

零点的存在性定理，就是一个充分不必要条件，即条件只是结论的充分条件，但不是结论的必要条件。  为什么这么说呢，下面就这个定理来分析：

可见，如果有条件，则必有结论，符合充分条件的“有之则必然”，那是否符合充分条件的另一个特征“无之未必然”呢？

可见，即使没有条件存在，依然可以得出结论，即当图像是连续曲线，但f(a)×f(b)>0时，依然存在函数零点，使得函数f(c) = 0。所以，也符合充分条件的“无之未必然”。

所以，条件是结论的充分条件。条件是结论的充分条件已经证明，那么条件是不是结论的必要条件呢？

如果从结论不能推出条件，那么这个定理就是充分不必要的。

下面来证明一下，将刚才定理的条件变成结论，将结论变成条件：

可以看到，一个条件可以产生不止一个结论，这符合必要条件的特征：”无之必不然，有之未必然“。在这里就是：若不存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，则肯定没有函数y = f (x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的一条曲线，且端点值满足f (a) × f (b)＜0这个结果，这是”无之必不然“（可以参考上图中的结论1）；

 

 即使存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0，也未必有函数y = f (x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的一条曲线，且端点值满足f (a) × f (b)＜0，这是“有之未必然”（参考上图中的结论2，结论2就是f (a) × f (b)>0）。

 

所以，若存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0 是函数y = f (x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的一条曲线，端点值满足f (a) × f (b)＜0 的必要条件。

 

也符合前面说的：若A是B的充分条件，则B是A的必要条件。所以，函数零点的存在性定理是一个充分不必要的条件。

 

比如出道这么一道判断题：函数y=f(x)在区间(a,b)里有零点（函数图像是连续不断的），则 f (a) × f (b)＜0 。这个就是错误的。

因为条件函数y=f(x)在区间(a,b)里有零点（函数图像是连续不断的） 是结论 f (a) × f (b)＜0的必要条件，结论有可能f (a) × f (b)＜0，也有可能 f (a) × f (b)>0。

那么怎么使这个必要条件也变成充分条件呢？答：限制条件的范围即可。

 

上图中的结论1和结论2的区别在于：函数图象的单调性不同，结论1是一个单调性，结论2的图象既有单调递增又有单调递减。
所以，给条件增加一条：函数图象是单调的，就能使结论限制在结论1中。

 

如果这么描述：函数y=f(x)在区间(a,b)里有零点（函数图象是连续不断的，且图象是单调的），则 f (a) × f (b)＜0 。那么条件就只能推出一个结论，即f (a) × f (b)＜0 。

两道相似的题目，一个是错的，而另一个就是错的。

这就是函数零点的存在性定理的反向推理。而数学题目，不仅会考察正向推理，还会考察反向推理，只会正向推理的同学，做起数学题往往会不知如何入手，因为没有思路。

那么，总结一下这个定理：

最后，给出一道题，如果会反向推理，那么就会有思路了：