概率在选择题的应用（极其简单！）

昨天偶然看到一个关于一个英语选词填空关于期望计算的视频（主要是吐槽）。因为笔者在英语考试中就经常会运用一些数学知识，最简单的就是在不想写英语的时候，总是先做七选五，用通俗的话来讲，就是七选五蒙对的概率比较小。

接下来先来看几个考试中可能碰到的问题，大概率在考试的时候可以提供一个参考。

（1，2涉及到的数学知识过于简单，不赘述计算过程）

1.普通单选题

这里以全国甲卷的英语听力部分为例，共1.5*20分，在考虑完全没有听听力的情况下，选择正确的概率为1/3，平均每题的期望分数为0.5分，整个听力部分期望分数为10分。这种情况比较罕见，下面考虑一种更加常见的情况。

在练念完该段听力之后，只排除了一个错误选项（保证其绝对错误）显然期望分数为0.75分，只增长了0.25分，这在笔者看来是极不划算的。

2.多选题

这里以全国甲卷的物理多选题为例，分为双选及三选分别讨论，但由于考试时并不知考题为双选还是三选，所以现实意义不大。

3.七选五

这个是今天主要想要讨论的，在笔者前面提到的某位up主那一期视频中，其列出分布列使用了极为复杂的方法去研究与之类似问题。在读小学的同学应该都能猜到，七选五期望分数为(5/7)*一道题对应的分值（通常为2分），即(10/7)分。

不妨先用五选五算一下（不重复选某一选项），每题正确率1/5，期望正确题目为1题；用分布列检验一下：

先递推一下错排公式，D(1)=0,D(2)=1,D(3)=2,D(4)=9,D(5)=44（其实笔者不太熟悉通项公式，但是不可否认错排的递推公式也比较好用，这里不作赘述，以后可以抽个时间再水一篇专栏「啊不是」）

5道题答案全排列，120种

列出分布列，如下：

易证期望等于1。

那不妨再检验一下，假设五选五第1题选错：

按照之前的方法，第1题选错，所以2~4题有一题必然错误，其余三题正确率1/4，期望3/4。

注意到，第一题选对的概率为0.2，第一题选对的条件期望为2，所以第一题选错的条件概率也为3/4，符合富比尼原理。

总的来说，数学期望的累加，并不受到其独立性的限制，上述例子中不同题目之间由于不重复选择而相互纠缠，但并不影响其可加性。