【googology】递增元序列IUN（下，3.5625难度）

2023-03-07 19:35 作者:3183丶4139 0人读过 | 我要投稿

递增元序列 (Increase Unit Notation)，简称IUN，是我第一个完全原创的较为强大的记号。

本文约11000字，大部分内容是分析大小，讲原理的部分相对不复杂，但难度同样不低。

目录：
1：概念与定义
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ₀
4：序列中的ψ外壳
5：解锁反射序数记号
6：IUN的极限
7：历史和扩展

本文分为上中下三个部分，本部分为下，包含“IUN 的极限”、“历史和扩展”两个内容，以及“解锁反射序数记号”中M以后的部分。

5：解锁反射序数记号（续）

1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(1%2C0%2C0))$

1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2= $%CF%88(I(1%2C0%2C%CF%89))$ ，随着第二个三项长的后继元出现，更大的序数被折叠到序列ψ的深处。
    1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2,3= $%CF%88(I(1%2C0%2C%CE%A9))$
    1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(I(1%2C0%2CI(1%2C0%2C0)))$
    1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,3,4= $%CF%88(I(1%2C1%2C0))$
    1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,3,4,3,4,5,4,5,5,6,7,6,7,8= $%CF%88(I(1%2CI(1%2C0%2C0)%2C0))$
    1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(2%2C0%2C0))$ ，坏根是首项，所以展开式比较长，是1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3 3,4,5,4,5,6,3,4,3,4,5,4,5 5,6,7,6,7,8,5,6,5,6,7,6,7,...
    1,2,3,2,3,4,1,2,2= $%CF%88(I(%CF%89%2C0%2C0))$ ，现在我们转战M： $%CF%88(M%CF%89)$
    用上M之后，1,2,3,2,3,4后面的运算就很明显就是对M的运算。
    1,2,3,2,3,4,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BM%2B1%7D)$
    1,2,3,2,3,4,1,2,3= $%CF%88(I_%7BM%2B1%7D)$
    1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6= $%CF%88(I(M%2C1))$
    1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,4= $%CF%88(M_%7B2%7D)$
    1,2,3,2,3,4,2,3,3= $%CF%88(M(1%2C0))$
    1,2,3,2,3,4,2,3,4= $%CF%88(M(1%2C0%2C0))$ = $%CF%88(M(1%3B0))$
    1,2,3,2,3,4,2,3,4,3= $%CF%88(M(%CF%89%3B0))$ ，注意不是1,2,3,2,3,4,3
    1,2,3,2,3,4,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(M(1%3B0%3B0))$
    1,2,3,2,3,4,3= $%CF%88(M(1%3B%40%CF%89))$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(K)$

    后面的结构越来越复杂，但是应该可以看出来，三项的后继元，它的行为和M记号是十分相似的。因此完全可以用M记号做后面的分析，直到1,2,3,4。为了区分M记号和一般的M，这里用 $%CF%88_%CE%BC(%5C%20%5C%20)$ 表示，同时省略最外层ψ。
    1,2,3,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5EM)$
    1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5EM2)$
    1,2,3,2,3,4,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%2B1%7D)$
    1,2,3,2,3,4,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM2%7D)$
    1,2,3,2,3,4,2,3,4,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E2%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%CF%89%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%7D)$ ，那么
    1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%2B1%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%2BM%7D)$
1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4,3,4,5,4,5,6= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM2%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%2B1%7D%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM2%7D%7D)$
1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,5,4,5,6,5,6,7= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%5E2%7D%7D)$
    1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%5EM%7D%7D)$

    1,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%89)$
    1,2,3,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91(%CF%892))$
    1,2,3,3,4,5,5= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%89))$

1,2,3,4=LSP，哦不，是 $LSO$ （为什么键盘上P和O要挨得那么近）

6：IUN的极限

在1,2,3,4之后，分析越来越困难，存在1,2,3,4,1,2,2,3,4,5，1,2,3,4,1,2,2,3,4,4,5,6,7，1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6等多种嵌套方式，这让1,2,3,4,1,2,3,4等于 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%973)-%CE%A0_0)$ ：

    1,2,3,4,1,2,3=
$%CF%88(%CE%A0_%7B2%5C%201-2%7D%5C%20after%5C%20(%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6=
$%CF%88(2nd%5C%20(%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,2=
$%CF%88(%CE%A0_1((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0))$
1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,2,3,4,4,5,6,7=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0))$
    1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_1)$
    1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972%2B1)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5,5,6,7,8=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972%2B(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,1,2,3,4= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%973)-%CE%A0_0)$
1,2,3,4,2= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%97%CF%89)-%CE%A0_0)$

从现在开始，后面的分析越来越具有推测性

    1,2,3,4,2,3,2,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%97(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,3= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E2)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,3,4,5,5,6,7,8=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E%7B(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0%7D)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,3,4,5,6= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E%CE%B1)-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B5_%7B%CE%B1%2B1%7D)-%CE%A0_0)%3D%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ ，其中 $%CF%88_%CE%B1$ 是 $%CF%88_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%7D$ 的缩写，这和BO之前的ψ是一致的。
    在前面，1,2,3一般表现I的性质，但是在M记号中，ψ(M)实际上是Ω；在1,2,3,4之后，1,2,3这种三项的后继元在 $%CF%88_%CE%B1$ 中表现出了原本Ω的特征。
    1,2,3,4,2,3,4,2,3,3,4,5,6=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B5_%7B%CE%B12%7D)-%CE%A0_0)%3D%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%CE%B1))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,2,3,3,4,5,6,4,5,6=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%5E2))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,2,3,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ = $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_2%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(M_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ = $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_%7B2-2%7D%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_%7B%CF%89%7D%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,4,5,6,7=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
    1,2,3,4,2,3,4,5= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D)-%CE%A0_0)$

在α形成admissable之后，后面会形成无数个admissable点，这让1,2,3,4,3才到 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B2%7D)-%CE%A0_0)$ ，其中1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6在
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%7B%2B%2B%7D(%CF%88_%7B%2B%2B%7D(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D)%5C%20after%5C%20%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ 附近。

于是1,2,3,4,3,3,4=1,2,3,4,3,3,3,3,3,...达到ω-dropping的级别，就是SDO=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B%CF%89%7D)-%CE%A0_0)$ ；1,2,3,4,3,4,4,5,6,7则到了LDO= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B12%7D)-%CE%A0_0)$

1,2,3,4,3,4,5,5，到达第一个伪伪2-π-Π₀点，即 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.((%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%2B1)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1)-%CE%A0_0)$
1,2,3,4,3,4,5,6则是
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.((%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1)-%CE%A0_0)$

1,2,3,4,4，到了真正的 $%CF%88(2-%CF%80-%CE%A0_0)$

由于我对这之后的序数完全不了解，我也无法推断在1,2,3,4,4之后是否会出现削弱的现象；如果没有这个现象，IUN的极限就是LRO，即 $%CF%88(psd.%CF%89-%CF%80-%CE%A0_0)$ 。

7：历史和扩展

和创造于2022.11.23的KP序列不同，IUN诞生的时间要早得多，早在2020年11月，IUN的最初雏形——THIAS，就已出现。

    2020.11，看到了Y序列的强大之后，我想定义一个序列，于是THIAS诞生（没有全称）
    2020.12，开始尝试写THIAS的定义，并确定其极限为BO（当时我把我创造的很多记号都分析过大了，如实际上不到Ω3的THIAF被分析到ω-dropping；但是THIAS没有）
    2021.1月底，THIAS定义完成，但bug很多，逐渐分析不动然后放弃

然后再没接触过THIAS

    2022.11.12，在b-THIAN完成得差不多时，开始重拾THIAS，改名为IUN（Increase Unit Notation），现称为旧IUN
    接下来略微改良了定义
    2022.11.23，再次确定旧IUN极限为BO，然后又暂停发展（因为我发现了KD序列）

    2023.2月初，我再次改良旧IUN的定义，引入“单首”“单尾”“后继元”等概念，但是失败了，极限仍然是BO
    2023.2.19，IUN改名为DIUN，引入阶差，但是这个阶差可以是0；成功让1,2,2,3,1,2,2,2,3等于BHO
    2023.2.20，调换同大小递增元的比较规则（改为表示相同序数的递增元，越长越高级）

    2023.2.21，正式将后继元作为IUN的核心，并将强度提升到I以上，确定为新IUN
    2023.2.22，重新引回递增元，但作用大幅削减，极限可能达到LRO
    2023.2.25，我首次尝试写计算机程序的展开规则，IUN的C程序定义完成
    在这之后，大部分内容都是微调，修bug

    2023.2.28，IUN的弱化记号SIUN(Single IUN)出现，极限是1,2,3,4,5,...=BO
    2023.3.2，IUN的强化记号HIUN(Hierarchical IUN)出现，还未分析完成
    其实在IUN展开规则整理上，涉及了一点点BSMS(by HypCos)的基本列的理解，不完全是真正的100%原创，但递增元、后继元等概念是在我看BSMS之前提出的，展开规则也与BSMS完全无关。

    IUN寻找坏根的核心，是在表达式中找到1个待坏项（简记作1-preb），或者找到连续2个等差的后继元组（简记作2-dsg）。
    那么是否存在2-preb 3-dsg的记号呢？这个假想的记号称为TIUN(Triple IUN)，它的1,2,2就是ε₀，1,2,2,2,2,3是BHO；为什么这个记号停留在假想阶段，这个稍后再说。
    原始序列PrSS的极限是ε₀，即 $PTO(%CE%A0%5E1_0-CA_0)$ ；IUN的极限是LRO，即 $PTO(%CE%A0%5E1_2-CA_0)$ ；那么是否存在一个极限是 $PTO(%CE%A0%5E1_1-CA_0)$ ，也就是BO的类似记号呢？
    在这个想法下，递增单单元序列，SIUN诞生了。SIUN寻找坏根的核心，是把所有的后继元首项提取出来，用类似于找“父项”的方式，找到相邻两项只相差1的位置，其中的后一项就是坏根。以下为SIUN的部分分析：

因为两个数字根本不能构成等差数列，所以真正意义上的0-preb 1-dsg记号不存在，取而代之的就是SIUN。于是，0-preb 0-dsg的PrSS，0-preb 1-dsg的SIUN，1-preb 2-dsg的IUN，可以连起来了。但是单纯地增大preb和dsg的数字并不是真正的理想状态，因为这样扩展永远只能是一个固定值，那么怎么样能让这个数字能随着表达式的变大而变大呢？

这项任务，被我交给了末后继元，让末后继元的项数来决定使用哪种IUN变体。把末后继元的项数记为D，这个新的扩展序列将使用(D-2)-preb (D-1)-dsg这种方式，名字叫级层递增元序列，HIUN。有了HUIN，还要TIUN干什么呢？

根据目前的分析，HIUN的1,2是ω，1,2,3是ε₀，1,2,3,4是BO，1,2,3,4,5很可能是LRO，如果真的能按这个规律延续下去的话，强度是相当可观的（当然大概率不会这样）。

HIUN的待坏项更复杂，要分末后继元是否为单项，如果是，还要找到首项比它小的后继元；然后除了一阶待坏项是这个后继元去掉末项，高阶的待坏项既可以是低阶待坏项每一项减1，又可以是低阶待坏项去掉末项；并且待坏项至少是2项，最高阶的待坏项是1,2。SIUN后期的找后继元首项的方式不再使用，因为纯SIUN的模式仅限1,2,3之前，而这里，规则与PrSS几乎完全相同。

目前HIUN还在研究中，敬请期待。

附：关于KP系列序列的高估

2月9日，我投稿了《KPnd序列介绍》其中说KPnd的强度与ω-Y相当，但我最近在评论区中说到，KPnd的极限仅在1-Y(1,3,4,6)附近。在我写那篇文章的时候，我实际上是低估了Y序列，即认为1,3,4,3=1,3,4,2,5,6,4,9,10,8,17,18,...，而实际上1,3,4,3=1,3,4,2,5,9,4,9,18,8,17,35,...，前者仅是1,3,4,2,5,6,5。这样，Y(1,3,4,3)已经相当于KPnd(1,2,5)，而Y序列的类似行为还会在1,3,4,6之前出现无数次。

同时，类似于0-Y的一维阶差可以表示为ω行BMS，我把Y序列的二维阶差，表述成了“ω²行BMS”，尽管加了引号，但在大多数人眼中，引号貌似可以直接忽略，而我认为引号能表达一定的特殊含义，不能忽略；因此可能对一些读者传播了错误信息。

如果仅仅是犯了这么一个错误，可能也不会造成什么影响；但是在那一篇仅仅136浏览（这136包括我自己,小号,家人,亲戚,同学等）的文章中，还包含了很多googology大佬，虽然是他们纠正了我的错误，但是在某社交软件上，可能对我有不好的印象了。希望他们能原谅我吧。

在认识到Y序列的这一点后，我也不再想扩展某个现有的记号了，因为我没有足够的实力去面对这样的复杂结构。所以，我重新找回我曾经原创的记号IUN，对它加以更改，从稳定序数的开头，一点点往上爬。

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【googology】递增元序列IUN（下，3.5625难度）

5：解锁反射序数记号（续）

6：IUN的极限

7：历史和扩展