浅谈雅可比行列式和积分换元的原理

雅可比行列式常应用于重积分的计算，对化简积分有着重大的作用，建议大家学习一下。

我们在计算重积分的时候，一般微分算子都是

或者

很多人以为这些微分算子之间是乘法运算，其实并不是。他们之间是一种楔形积的运算，记作^，因此：

楔形积简单来说，它的运算类似于向量的叉积，因此满足以下性质：

因此，如果

那么

我们把

叫做雅可比行列式（Jacobian），它的值取绝对值，因此恒大于0.

在积分的计算中有什么应用呢？最主要的应用就是换元。

比如要计算

那么就可以把这个积分写成：

比如极坐标的积分变换：

我们发现x和y都是关于r和θ的二元函数，因此：

所以：

这就是极坐标积分变换的由来。

我们也可以把这个结论拓展到三维情况，这个交给读者自行推导，这里给出结论：

若

那么

其中

通过三维的楔形积，可以推导出柱坐标和球坐标的积分变换，这里举柱坐标的例子：

计算雅可比行列式

因此：

最后，我们来看道竞赛题：

乍一看一头雾水，但注意观察Ω，可以变形：

那么，令：

然后用雅可比行列式换元：

变换的空间区域为：

这样积分就化为：

我们分三个部分计算，首先从常数算起

由于Ω'是球域，那么V=4pi/3，故：

然后是一次项，很巧的是，由于Ω'是个对称的区域，并且一次项的变量为奇函数，根据对称性可以知道这一部分积分为0：

最后是二次项，Ω'是个球域，满足轮换对称性，也就是：

由球坐标换元，可以得到：

代入原式得到：

故质量：