线性代数（1）——线性方程组的解法

这是一个线性方程组：

可以将它改写成矩阵形式：

其中，矩阵

为系数矩阵；

矩阵

为增广矩阵。

在写出增广矩阵后，我们可以发现，线性方程组方程相消的解法等价于对增广矩阵做初等行变换。

将其变换成一个行最简形矩阵：

可以发现

不过，我们一般用矩阵的秩来表达这个条件，即：

若r(A)<r(A,b)，则方程组无解；

若r(A)=r(A,b)，则方程组有解。

而有解还能分为两种情况，即仅有一组解，和有无穷多解，其判别标准是看（初等变换后）方程个数和未知数个数是否一致，即：

当

有一组解；

当

有无穷组解。

（n是未知数个数，也是系数矩阵的列数）

对以上结论进行一下归纳：

同时我们还能得到一个推论：

这是为什么呢？det(A)≠0，意思是矩阵A满秩；而前提条件给了A是n阶方阵，那么A满秩就意味着其行数（方程个数）=列数（未知数个数），即方程组有唯一解。

上面介绍了初等变换的解法，接下来再简单过一下克莱默法则。

首先要明确它的前提条件：系数矩阵A是方阵，且det(A)≠0。

它的内容是：

其中，D=det(A)，

通过克莱默法则还能引申出下面这个定理：