麟子凤雏数学俱乐部

1.方程[sin（0.25√2πcosx）]^2=[cos（0.25√2πsinx）]^2的解为____。

解析：设α=0.25√2πcosx，β=0.25√2πsinx，则α^2+β^2=π^2/8。 

－π/2＜－0.25√2π ≤α，β≤0.25√2π＜π/2。
原方程（sinα）^2=（cosβ）^2可化为sinα=±cosβ。
经检验得α，β≠0。
结合正弦函数与余弦函数的图像，分类讨论：
（1）当0＜α＜π/2时，若sinα=cosβ，则α1+β2=π/2，α1―β1=π/2。
（2）当－π/2＜α＜0时，设α2=－α1，若－sinα=cosβ，则α2+β1=－π/2，α2―β2=－π/2。

将α^2+β^2=π^2/8与α±β=±π/2联立得四个方程组，分别解得α，β=±π/4，则cosx，sinx=±√2/2，即tanx=±1，结合正切函数的图像得x=π/4+kπ/2，k是整数。
【评析】将a±b配成正弦函数的形式，值域都是[－π/2，π/2]，取两端时得到四种情况，结合图象分析，均可得到sinα＝±cosβ。

版权说明：本题与33iq上少年英雄小哪吒（本人33iq用户名）创作的题一样，不属于抄袭。