混合的理想气体

理想气体

对于理想气体，我们已知的规律简单回顾如下：

压强

温度定义正比于分子的平均平动动能：

分子的速度任意分量均服从正态分布，方差为：

速度分布：

速率分布：

注意对速度和速率的区分。

平均自由程：

平均自由程是气体的一个重要微观性质，指的是气体分子在相邻两次碰撞之间平均经过的路程。在涉及传热、扩散等模型时均有应用。设碰撞截面，任意两分子间的平均相对速率，则理论分析将给出一个分子碰撞频率为：

上式可以这样理解：所有分子都不动，而某一分子以平均相对速率运动，分析它与其它分子的碰撞。那么我们就可以求出平均自由程了：

其中，比例系数是平均相对速率和单分子平均速率之比。对于单组分的气体，它的值是，这一点我们后面会证明。此外，粒子自由程有概率分布函数：

混合气体的相关规律

如果考虑两种气体进行混合，分子数密度分别为，分子质量，以上所有规律都可以得到推广。

压强

两种分子对容器壁的压强显然是可以直接叠加的，与此同时，由于两种气体处在热平衡态，它们之间虽然会发生碰撞，但不会影响总体的统计规律。

这就是道尔顿分压定律的来源。

温度

热平衡态，两种分子的平均速率将满足一定关系，也即它们的平均平动动能将相等：

速度分布

我们已经说过两种分子各自的统计规律不会受到碰撞的影响。

速率分布也同理。

平均相对速率

这是我们讨论的重点，这涉及对混合气体中的平均自由程的讨论。

我们不妨先考虑两种气体分子在x方向的速度分布：

然后，我们构建另一个速度空间如下：

注意到，两个不同粒子的相对速度的等值线是斜率为1的直线，而两个粒子相对速度在范围对应的就是速度空间中的一个窄条，如上图。

那么，可以用二重积分计算粒子落入这个窄条的概率：

对被积式的指数进行配方：

如果令，则

可以发现，任意两不同种粒子相对速度的分布和同温度质量为的气体的速度分布是相同的。

平均相对速率也不难通过积分求得：

到这里也就能解释为什么单组分气体中即. 只需取即容易证明以上关系。

平均自由程

对于混合气体中平均自由程的计算，我们利用自由程的概率分布函数。以下计算1分子的平均自由程：

我们已有理论，分子移动了距离而不与其它1分子出现碰撞的概率是

其中是1分子与自身的碰撞截面。对于12分子的碰撞，是

对于一个混合气体中的1分子，走过路程不发生碰撞的总概率是

所以1分子的平均自由程是

同理2分子的平均自由程是