凝聚态场论常用公式（12）：Haper方程

2023-03-30 13:36 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

考虑极小耦合与正则量子化可以得到Peierls变换：

$%5Chat%7Bp%7D_x%3D-i%5Chbar%5Cpartial_x%2C%5C%20%5Chat%7Bp%7D_y%3D-i%5Chbar%5Cpartial_y-%5Cfrac%7Be%7D%7B%5Chbar%20c%7DBx.$

考虑二维的紧束缚模型： $H%3DE_0%5Be%5E%7Bi%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Chbar%7Dp_x%7D%2Be%5E%7B-i%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Chbar%7Dp_x%7D%2Be%5E%7Bi%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Chbar%7Dp_y%7De%5E%7B-i%5Cfrac%7BeBa%7D%7B%5Chbar%20c%7Dx%7D%2Be%5E%7B-i%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Chbar%7Dp_y%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7BeBa%7D%7B%5Chbar%20c%7Dx%7D%5D%2C$

由于相位因子只与x方向有关，对y方向做傅里叶变换：

$%5Cpsi(ma%2Cna)%3De%5E%7Bik_yna%7Dg(m)%2C%5C%20(m%2Cn)%5Cin(%5Cmathbb%7BZ%7D%5Ctimes%5Cmathbb%7BZ%7D).$

代入可得 $g(m%2B1)%2Bg(m-1)%2B2%5Ccos%5B2%5Cpi%5Cphi%20m-k_ya%5Dg(m)%3D%5Cepsilon%20g(m)%2C%5C%20%5Cepsilon%3D%5Cfrac%7BE%7D%7BE_0%7D%2C%5C%20%5Cphi%3D%5Cfrac%7BBa%5E2%7D%7B%5CPhi_0%7D%3D%5Cfrac%7B%5CPhi%7D%7B%5CPhi_0%7D.$

此即Haper方程，Haper方程是一个迭代方程，有许多求解方法. 对于不同的磁通，Haper方程解的性质也有所不同，其能谱的解由Hofstadter首先数值解出，因其是一个迭代解，所以有分形特征，且能谱形似蝴蝶，又常被称为Hofstadter蝴蝶.

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