《虚数不虚》第十三节黎曼面初拾级

2022-11-20 22:44 作者:qazopq 0人读过 | 我要投稿

写在前面：

本文为我原创，旨在配合《虚数不虚》的最后一集，帮助大家走进复变多值函数。我喜欢将复杂的概念用通俗的语言讲清楚，但是创作不易，如果你觉得我的文章有所帮助，请多多支持！这是我第一次尝试。如果你发现本文需要勘误，请及时留言告知，我感激不尽。

一、什么是多值函数？

这是我们最熟悉的多值函数，它是f(z)=z²的逆函数：

f(z)=±√z

在实数域里，平方根函数由两个单值函数组合而成，一支为正，一支为负。通常我们选择正的一支（图中黑色曲线）来观察分析，这个过程这就是把多值函数单值化的过程。在实数域中，这一切自然而然，一步到位。关键是每一个单值化的函数在定义域中都是连续函数，直接就可以拿来研究。但是，当我们把实数域拓展到复数域，这种划分方法得到的单值函数还能保持连续性吗？带着这个问题，我们来探讨多值函数在复数域的单值化问题。它与我们将要介绍的黎曼面有密不可分的关系。

二、映射，研究复变函数的钥匙

现在我们的定义域和值域都是复数，我们需要四个变量来描述这个函数。由于我们生活在三维世界，维度有限。因此要了解函数的结构，最好的方法是从映射的角度入手，如果你还不熟悉这种方法，你可以阅读这篇文章。

在上一节中，我们把每个象限先着色，然后映射到值域。我们得到了两组对称的图像，他们组成了一朵美丽的花瓣。在这朵花瓣中，下半部分由函数的正支（√z）映射而来，上半部分由函数的负支（-√z）映射而来。我们仿照实数域的做法，选择函数的正支进行研究。这是一个单值函数，也就是说定义域上每个点都与这个区域内的每个点一一对应。但是，这个单值函数是否继承了实数域连续的特性呢？

检验的方法：路径！我们在定义域随便画一条线（简称为路径），如果这条线在映射后不发生断裂，就说明我们的函数在定义域是连续的。而这正是我们在上一节所做的事情。我们先后用黑色、红色绘制了两条闭合路径。有兴趣的读者可以点此参阅上节内容。

可以看到，这两条都横跨了两个分支。因此无论我们选择哪一支，都会割裂了原本连续的路径。这说明我们不能把两个分支分开看待，这是复数域与实数域的最大不同。我们需要另辟蹊径，尤其是从红色路径找寻启示。

三、深入研究红色路径

我在上节给读者留了一个问题，为什么红色路径在映射后只形成了一个闭合回路？

用心的读者可以发现，这两条路径最大的区别在于红色路径有绕原点选转一周。映射后的两条红色路径各跨越了原来的分支，画出了一个大大的闭合回路。通过探究其路径的映射过程，对于揭示函数的结构是一个很好的切入点。

与上一次不同，这次我们选择了一条绕原点旋转两圈的路径。作为改进，我将路径绘制的过程用动画分步展示，方便大家直观感受映射后的路径是如何一步步绘制出来的。

映射后的两条路径，如同两位配合默契的“舞者”，在两个分支间来回穿梭。要理解其中的规律，最好的方法是先选择其中一位观察。大家数数看，看看她究竟绕了几圈？

显然，这位舞者在值域旋转一圈，需要在定义域转两圈。这是因为在平方根运算下，每个复数的幅角变为原来的一半，我们的舞者的转角也随之减半。但是如果我们把定义域和值域结合起来，这个性质隐藏着一个不可思议的问题：

是什么结构可以让这位舞者旋转两圈后回到起点？

绕两圈才能返回起点！这是这个函数最重要的性质！

四、四维旋梯

在读者尝试在想象这个函数的形状前，我们不妨从一个简单点的情况入手：既然“舞者”旋转了一圈并没有返回起点，那么她会落在何处？

我们很容易用楼梯作为类比：

在上图中，我们的定义域是地面。这个结构可以很好解释为何舞者绕一圈后没有返回起点：仅仅是因为她在旋转的同时向上运动。我们在地面看到是她的投影！

我们从中得到启发，如果舞者再绕一圈后就会从“二楼”回到“一楼”，这个楼梯应该怎么构造？无论怎么尝试，我们的上坡面都会与下坡面相交。这是一个只能在四维空间实现的结构。

五、拼接平面

要理解这个四维旋梯，借助多值函数单值化，单值函数连续化的方法。我们先在值域作图，把值域的每一个分支反向映射回定义域。

还记得f(z)=±√z的逆变换：f(z)=z²吗？

正支和负支不断合拢变大，恢复了我们熟悉的直角坐标平面。

我们通过逆映射得到了两个平面。

因此值域的每一支都是由一张完整的平面映射而来。

接下来我们从头到尾绕着这条路径走一圈。看看我们的路径是如何在这两个平面间穿梭的。

注意观察路径跳跃的地方，在负实轴方向（两个平面的第二象限和第三象限交界处），路径从一个平面跳跃到另一个平面上，然后在另一个平面的负实轴方向跳跃回来。这揭示了两个平面间不是孤立存在，而是连成一体。我们可以像下图那样，亲自动手操作，把两个平面“缝合”一体。这不正是我们要构造“转两圈就回到原点”的四维旋梯吗。