A-0-2导数与应用（2/2）

2023-08-26 18:42 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.2.3 一些其他常用导数

$(%5Ccos%20x)'%3D-%5Csin%20x$

$(%5Ctan%20x)'%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2x%7D$

$(%5Ccot%20x)'%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E2x%7D$

$(%5Carctan%20x)'%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D$

$(%5Carcsin%20x)'%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D$

0.2.4 导数在物理中的应用

求物理量最值

证明光的折射定律。

已知光在两均匀介质中的速度分别为 $v_1$ , $v_2$ 。且光线沿着时间取极值的路径传播。

如图，令光线从 $A$ 点经过介质分界面到达 $B$ 点。在同种介质中光线沿直线传播。 $A$ 、B到分界面的距离分别为 $a$ , $b$ ， $A$ 、 $B$ 沿着分界面方向的距离为 $d$ 。在上方介质中光速为 $v_1$ ，下方介质中速度为 $v_2$ ，设 $CF%3Dx$ .则光从 $A$ 到 $B$ 运动的总时间

$t%3D%5Cdfrac%7BAC%7D%7Bv_1%7D%2B%5Cdfrac%7BCB%7D%7Bv_2%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bx%5E2%7D%7D%7Bv_1%7D%2B%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B(d-x)%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%7Bv_2%7D$

当时间取极值时，

$%5Cdfrac%7Bdt%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bv_1%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bx%5E2%7D%7D-%5Cdfrac%7Bd-x%7D%7Bv_2%5Csqrt%7B(d-x)%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%3D0$

其中

$%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bx%5E2%7D%7D%3D%5Csin%5Calpha%2C%5Cdfrac%7Bd-x%7D%7B%5Csqrt%7B(d-x)%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%3D%5Csin%5Cbeta$

即

$%5Cdfrac%7B%5Csin%5Calpha%7D%7Bv_1%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ccos%5Cbeta%7D%7Bv_2%7D$

定义光在介质中的折射率

$n_1%3D%5Cdfrac%7Bc%7D%7Bv_1%7D%2Cn_2%3D%5Cdfrac%7Bc%7D%7Bv_2%7D$

则有

$n_1%5Csin%5Calpha%3Dn_2%5Csin%5Cbeta$

此即光在两种介质分界面的折射定律。

求变化率

如图所示， $AB$ 杆以角速度 $%5Comega%20$ 绕 $A$ 点转动，并带动套在水平杆 $OC$ 上的小环 $M$ 运动．运动开始时， $AB$ 杆在竖直位置，设 $OA%20%3Dh$ ．求： $t%20$ 时刻小环M的加速度大小 $a$ ．

令 $%20%5Cangle%20OAM%3D%5Ctheta%3D%5Comega%20t$ ，则 $t$ 时刻位移

$x%3DOM%3Dh%5Ctan%5Ctheta$

$v%3D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bh%7D%7B%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D%5Comega$

$a%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7B2h%5Comega%5Csin%5Ctheta%7D%7B%5Ccos%5E3%5Ctheta%7D%5Comega%3D%5Cdfrac%7B2h%5Comega%5E2%5Csin%5Comega%20t%7D%7B%5Ccos%5E3%5Comega%20t%7D$

0.2.5 练习

如图所示， $AB$ 为沿湖岸的笔直马路，某人在其上的行走速度恒为 $v_1%3D5m%2Fs$ ； $C$ 为湖中的一小岛，距岸边马路的垂直距离为 $d%3D100m$ ，此人在水中的游泳速度恒为 $v_2%3D3m%2Fs$ . $AB$ 两点的距离为 $L%3D150m$ ，该人从小岛入水，游泳到对岸，登岸后步行至 $B$ 点，问在距 $A$ 点多远处登岸，整个行程所花费的时间最短？求出上岸点到 $A$ 点的距离 $AM$ 以及所用时间 $t$ .