欢迎光临散文网会员登陆 & 注册

【趣味数学题】三圆柱体

2021-07-19 08:29 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

三圆柱体（tricylinder）是由三个垂直圆柱相交形成的实体：

$x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%20r%5E2%20$

$x%5E2%20%2B%20z%5E2%20%3D%20r%5E2%20$

$y%5E2%20%2B%20z%5E2%20%3D%20r%5E2%20$

求三圆柱体的体积公式。

把三圆柱体分成 7 块：1 个边长为 $%5Csqrt%7B2%7Dr$ 的立方（cube），6 个全等的 "方盖" （cap）。

立方的体积是

$%7BV%7D_%7Bcube%7D%20%3D%20%7B%5Cleft(%5Csqrt%7B2%7D%20r%20%5Cright)%7D%5E%7B3%7D$

每个“方盖”的体积是

$%7BV%7D_%7Bcap%7D%20%3D%20%5Cint_%7Br%2F%5Csqrt%7B2%7D%7D%5E%7Br%7D%204(r%5E2%20-%20x%5E2)%20dx$

$%7BV%7D_%7Bcap%7D%20%3D%204%5Cleft%5Br%5E2x-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%5CBiggr%7C_%7Br%2F%5Csqrt%7B2%7D%7D%5E%7Br%7D%5Cright%5D$

$%7BV%7D_%7Bcap%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(8-5%5Csqrt%7B2%7D%5Cright)%7Br%7D%5E%7B3%7D$

因此，三圆柱体的体积是

$V%20%3D%20%7BV%7D_%7Bcube%7D%20%2B%206%7BV%7D_%7Bcap%7D$

$V%20%3D%202%5Csqrt%7B2%7D%20%7Br%7D%5E%7B3%7D%20%2B%206%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(8-5%5Csqrt%7B2%7D%5Cright)%7Br%7D%5E%7B3%7D%20$

$V%20%3D%20%5Cleft(16-8%5Csqrt%7B2%7D%5Cright)%7Br%7D%5E%7B3%7D$