郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

《张邱建算经》（卷下 38）

【原文】

今有鸡翁一直钱五；鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问：鸡翁、母、雏各几何?

【今译】

假设 1 只公鸡值 5 钱，一只母鸡值 3 钱，3 只小鸡值一钱。 如果用 100 钱购买 100 只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各买多少只?

【解题】

设  分别为公鸡、母鸡、小鸡的只数。由题意得

将方程（2）乘以3得

 从方程（2）减去方程（1）得

所以

将 代入方程（1），得

 因此,

根据题意，解集必须由非负整数组成。因此,   必须可以被4整除。令 ，
代入以上的解集，得

其中 。

第一解：公鸡 0 只，母鸡 25 只，小鸡 75 只。[1]
第二解：公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只。
第三解：公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只。
第四解：公鸡 12 只，母鸡 4 只，小鸡 84 只。

[1] 张邱建只给出正整数解，所以《张邱建算经》没有给出第一个解（公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只）。

《张邱建算经》的答案与解法

【原文】

答曰：鸡翁四，直钱二十；鸡母十八，直钱五十四；鸡雏七十八，直钱二十六。
又答：鸡翁八，直钱四十；鸡母十一，直钱三十三；鸡雏八十一，直钱二十七。
又答：鸡翁十二，直钱六十；鸡母四，直钱十二；鸡雏八十四，直钱二十八。

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三。即得。

【今译】

答案：公鸡 4 只，值 20 钱；母鸡 18 只，值 54 钱；小鸡 78 只，值 26 钱。
又答：公鸡 8 只，值 40 钱；母鸡 11 只，值 33 钱；小鸡 81 只，值 27 钱。
又答：公鸡 12 只，值钱 60 钱；母鸡 4 只，值 12 钱；小鸡 84 只，值 28 钱。

解法：公鸡每次加 4 只，母鸡每次减 7 只，小鸡每次减 3 只。即得答案。