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区间套在实分析中的应用(2)

2023-06-08 23:53 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

最值定理

闭区间上的连续函数可以去到最大值

假设 $f$ 是区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的连续函数

我们还是构造区间套

$A_1%3D%5Ba%2Cb%5D$

对于区间 $A_%7Bn%7D%3D%5Bx_n%2Cy_n%5D$

$A_%7Bn%2B1%7D$ 从 $%5Bx_n%2C%5Cfrac%7Bx_n%2By_n%7D%7B2%7D%5D$ 和 $%5B%5Cfrac%7Bx_n%2By_n%7D%7B2%7D%2Cy_n%5D$ 选择

但是要满足 $%5Csup%7Bf(A_%7Bn%2B1%7D)%7D%3D%5Csup%7Bf(A_n)%7D$

首先我们要证明能选择到

记 $L%3D%5Bx_n%2C%5Cfrac%7Bx_%7Bn%7D%2By_n%7D%7B2%7D%5D$

$R%3D%5B%5Cfrac%7Bx_n%2By_n%7D%7B2%7D%2Cy_n%5D$

于是有 $f(L)%20%5Ccup%20f(R)%3Df(A_n)$

因为如果 $%5Csup%20f(L)%3C%5Csup%20f(A_n)$ 而且 $%5Csup%20f(R)%20%3C%20%5Csup%20f(A_n)$ 的话那么就有 $%5Cmax(%5Csup%20f(L)%2C%20%5Csup%20f(R))%20%3C%20%5Csup%20f(A_n)$

考虑到 $%5Cmax(%5Csup%20L%2C%20%5Csup%20R)$ 也是 $A_n$ 的上界所以应该有

$%5Csup%20A_n%20%5Cle%20%5Cmax(%5Csup%20L%2C%20%5Csup%20R)$

所以矛盾了

所以 $L$ 和 $R$ 其中一定有一个的上确界等于 $A_n$ 的上确界

我们有了区间套后令 $x_n%20%5Cin%20A_n$ 而且 $%7Cf(x_n)%20-%20%5Csup%20A_n%20%7C%20%3D%20%5Csup%20A_n%20-%20f(x_n)%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$

这个 $x_n$ 也是一定能取到的因为如果去不到的话 $%5Csup%20f(A_n)%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ 也是一个上界了，

违背了最小上界原则

于是我们找到了

$%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx_n%3Dc$

$f(c)%3D%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x_n)%3D%5Csup%20f(%5Ba%2Cb%5D)$

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