2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (四)

分析题 3. 是否存在  上的全纯函数  使得对任意  都有 ？其中  表示  的  次迭代。

假设这样的  存在，首先证明对任意 ， 可以取到  的所有数。一方面， 一定不能取到全体复数：若 ，则 ，但 ，矛盾。另一方面，如果  取不到  中的两个点，则根据  小定理， 则为常数，从而  也是常数，矛盾。因此  仅恰好取不到 。同理，对各  使用  小定理即得到对任意 ， 均仅取不到 。

因此，存在全纯函数  使得 。则 ，故存在  使得 ，因此 。故存在  使得  以及存在  使得 。并且由于 ，存在  使得 。

此时

由此得，矛盾。故这样的  不存在。

应用与计算数学题 1.  迭代

考虑线性方程组 ，其中  对称半正定且对角元都是正数，。假设该方程组有解， 迭代的求解格式为

(a) 证明： 迭代从任意初始点出发都收敛。

(b) 若  的秩为 1，证明从任意初始点出发， 迭代一步即可收敛。

(a) 直接写 Golob 书上的证明。

即验证  的特征值均在单位圆内。该矩阵与

的特征值相同。考虑

则 。若 ，则可以算得

然而由于  正定，故 。因此 。

(b) 由题意可设 ，通过计算不难得到当  时

自然如此迭代一步即可收敛。