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最近我们被客户要求撰写关于隐马尔可夫HMM模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。

最近，我们使用隐马尔可夫模型开发了一种解决方案，并被要求解释这个方案

HMM用于建模数据序列，无论是从连续概率分布还是从离散概率分布得出的。它们与状态空间和高斯混合模型相关，因为它们旨在估计引起观测的状态。状态是未知或“隐藏”的，并且HMM试图估计状态，类似于无监督聚类过程。

例子

在介绍HMM背后的基本理论之前，这里有一个示例，它将帮助您理解核心概念。有两个骰子和一罐软糖。B掷骰子，如果总数大于4，他会拿几颗软糖再掷一次。如果总数等于2，则他拿几把软糖，然后将骰子交给A。现在该轮到A掷骰子了。如果她的掷骰大于4，她会吃一些软糖，但是她不喜欢黑色的其他颜色（两极分化的看法），因此我们希望B会比A多。他们这样做直到罐子空了。

现在假设A和B在不同的房间里，我们看不到谁在掷骰子。取而代之的是，我们只知道后来吃了多少软糖。我们不知道颜色，仅是从罐子中取出的软糖的最终数量。我们怎么知道谁掷骰子？HMM。

在此示例中，状态是掷骰子的人，A或B。观察结果是该回合中吃了多少软糖。如果该值小于4，骰子的掷骰和通过骰子的条件就是转移概率。由于我们组成了这个示例，我们可以准确地计算出转移概率，即1/12。没有条件说转移概率必须相同，例如A掷骰子2时可以将骰子移交给他，例如，概率为1/36。

模拟

首先，我们将模拟该示例。B平均要吃12颗软糖，而A则需要4颗。

# 设置simulate <- function(N, dice.val = 6, jbns, switch.val = 4){  ＃模拟变量    ＃可以只使用一个骰子样本    ＃不同的机制，例如只丢1个骰子，或任何其他概率分布      b<- sample(1:dice.val, N, replace = T) + sample(1:dice.val, N, replace = T)    a <- sample(1:dice.val, N, replace = T) + sample(1:dice.val, N, replace = T)    bob.jbns <- rpois(N, jbns[1])    alice.jbns <- rpois(N, jbns[2])    # 状态     draws <- data.frame(state = rep(NA, N), obs = rep(NA, N),     # 返回结果    return(cbind(roll = 1:N, draws))# 模拟场景draws <- simulate(N, jbns = c(12, 4), switch.val = 4)# 观察结果ggplot(draws, aes(x = roll, y = obs)) + geom_line()

如您所见，仅检查一系列计数来确定谁掷骰子是困难的。我们将拟合HMM。由于我们正在处理计数数据，因此观察值是从泊松分布中得出的。

fit.hmm <- function(draws){  # HMM   mod <- fit(obs ~ 1, data = draws, nstates = 2, family = poisson()  # 通过估计后验来预测状态  est.states <- posterior(fit.mod)  head(est.states)  # 结果   hmm.post.df <- melt(est.states, measure.vars =   # 输出表格  print(table(draws[,c("state", "est.state.labels")]))

## iteration 0 logLik: -346.2084 ## iteration 5 logLik: -274.2033 ## converged at iteration 7 with logLik: -274.2033 ##        est.state.labels## state   alice bob##   a     49   2##   b      3  46

模型迅速收敛。使用后验概率，我们估计过程处于哪个状态，即谁拥有骰子，A或B。要具体回答该问题，我们需要更多地了解该过程。在这种情况下，我们知道A只喜欢黑软糖。否则，我们只能说该过程处于状态1或2。下图显示了HMM很好地拟合了数据并估计了隐藏状态。

# 绘图输出    g0 <- (ggplot(model.output$draws, aes(x = roll, y = obs)) + geom_line() +        theme(axis.ticks = element_blank(), axis.title.y = element_blank())) %>% ggplotGrob    g1 <- (ggplot(model.output$draws, aes(x = roll, y = state, fill = state, col = state)) +           g0$widths <- g1$widths    return(grid.arrange(g0, g1plot.hmm.output(hmm1)

令人印象深刻的是，该模型拟合数据和滤除噪声以估计状态的良好程度。公平地说，可以通过忽略时间分量并使用EM算法来估计状态。但是，由于我们知道数据形成一个序列，因为观察下一次发生的概率取决于前一个即\（P（X_t | X_ {t-1}）\），其中\（X_t \ ）是软糖的数量。

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考虑到我们构造的问题，这可能是一个相对简单的案例。如果转移概率大得多怎么办？

 simulate(100, jbns = c(12, 4), switch.val = 7)

## iteration 0 logLik: -354.2707 ## iteration 5 logLik: -282.4679 ## iteration 10 logLik: -282.3879 ## iteration 15 logLik: -282.3764 ## iteration 20 logLik: -282.3748 ## iteration 25 logLik: -282.3745 ## converged at iteration 30 with logLik: -282.3745 ##        est.state.labels## state   alice bob##   alice    54   2##   bob       5  39

plot(hmm2)

这有很多噪音数据，但是HMM仍然做得很好。性能的提高部分归因于我们对从罐中取出的软糖数量的选择。分布越明显，模型就越容易拾取转移。公平地讲，我们可以计算中位数，并将所有低于中位数的值都归为一个状态，而将所有高于中位数的值归为另一状态，您可以从结果中看到它们做得很好。这是因为转移概率非常高，并且预计我们会从每个状态观察到相似数量的观察结果。当转移概率不同时，我们会看到HMM表现更好。

如果观察结果来自相同的分布，即A和B吃了相同数量的软糖怎么办？

hmm3 <- fit.hmm(draws)plot(hmm3)

不太好，但这是可以预期的。如果从中得出观察结果的分布之间没有差异，则可能也只有1个状态。

实际如何估算状态？

首先，状态数量及其分布方式本质上是未知的。利用对系统建模的知识，用户可以选择合理数量的状态。在我们的示例中，我们知道有两种状态使事情变得容易。可能知道确切的状态数，但这并不常见。再次通过系统知识来假设观察结果通常是合理的，这通常是合理的。

从这里开始，使用 Baum-Welch算法 来估计参数，这是EM算法的一种变体，它利用了观测序列和Markov属性。除了估计状态的参数外，还需要估计转移概率。Baum-Welch算法首先对数据进行正向传递，然后进行反向传递。然后更新状态转移概率。然后重复此过程，直到收敛为止。

在现实世界

在现实世界中，HMM通常用于

• 股票市场预测，无论市场处于牛市还是熊市

• 估计NLP中的词性

• 生物测序

• 序列分类

仅举几例。只要有观察序列，就可以使用HMM，这对于离散情况也适用。

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本文选自《R语言中的隐马尔可夫HMM模型实例》。

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