无限维向量空间

设V是向量空间，F=【x1,x2,…xn】⊂V  若对任意的 x∈V，都存在实数λ1，λ2，λ3…λn 。使得x=∑λixi，i=1…n。则称F可以线性表示V，满足这样条件的F的最少个数称为向量空间V的维数。我们用dimV表示向量空间V的维数。如果这样的F不存在，则称向量空间V是无限维向量空间。

实数域R上的向量空间V是指给定集合V及V的一个二元运算加法+及R×V到V的运算数乘·。满足以下性质

性质1 （V，+）构成一个Abel群，即对任意的a，b，c∈V，下面的性质成立。

i 结合律  (a+b)+c=a+(b+c)

ii 0元的存在性; 存在元素0∈V 满足对任意的a∈V，a+0=0+a=a；

iii  负元存在性  对任意的a∈V ，存在负元－a 使得a+(－a)=(－a)+a=0；

iv   交换律；  a+b=b+a

性质2  数乘·满足如下性质；

v  对任意的a∈V，1·a=a；

vi 对任意的s，t∈R和任意的a∈V，s·(t·a)=(s·t)·a

性质3

vii  对任意的a，b∈V，对任意的s∈R，s·(a+b)=s·a+s·b

viii  对任意的s，t ∈R，对任意的a∈V，(s+t)·a=s·a+t·a

设V是向量空间，L⊂V，若(L，+，·）也是向量空间（即L对+和·封闭），则称L是V的向量子空间，记作L◁V。

有关Abel群可详细参考抽象代数