交换代数讨论班 - 第二次课：极大理想与局部环

极大理想与局部环

基本结论

任何非零环都存在极大理想

有如下扩充关系：非单位→真理想→极大理想（极大/素/真理想中一定不含单位）

特别地，非零诺特环存在极大理想（证明可以不依赖Zorn引理）

局部环等价定义

对于非零环

1. 存在唯一的极大理想
2. 非单位全体构成理想（即存在理想等于A\Ax，易证其一定是极大理想）
3. 非单位对加法封闭
4. 所有元素x，要么x是单位，要么1-x是单位
5. 存在极大理想m，1+m中元素 都是单位

证明：

• 1→2：任取非单位x，其主理想一定扩充成那个唯一的极大理想
• 2→1：所有真理想都不能含单位，故都包含于A\Ax
• 2→3：显然
• 3→2：非单位乘上环中任意元素还是非单位
• 3→4：x + (1 - x)是单位
• 4→5：对任取极大理想m中元素x都有-x是非单位
• 5→2：设非单位x不在m中，则m+(x)=(1)，则存在y，使xy=1+m是单位，从而x是单位，矛盾

局部化

若p是理想，则p是素理想等价于p的补集是乘性子集S，但一般S的补可以不是理想，如S=<x>={1,x,x^2...}是单边的

环A商掉素理想p的补集即A/(A-p)成为局部环，p/(A-p)是其唯一极大理想