求积仪的原理简要说明

一、几何部分的证明

求积仪，顾名思义就是测量区域面积的仪器，由于我的百度百科不知为何崩溃了一周，我又在维基百科上找到了介绍：

下面的六幅图中，第一排第一张是球面（极点）求积仪、第四张是线性求积仪、第二排第二张是斧状求积仪
我们先大概介绍一下求积仪的工作原理
大体来看，求积仪测量面积的过程实际上就是一个“长杆”在平面上扫动，这个扫动的过程我们可以用下面这张图来表示：

图中的左半部分是长杆左端扫过的区域，右半部分是长杆右段扫过的区域，由基本的割补原理，可以得到下面这个重要结论：

此时的S扫为长杆扫过的面积（理解为单次）
接着我们分解这个扫动的运动
很明显，杆的运动可以分解为平动和转动，其中，我们定义有向面积，即杆在沿其正法向方向运动时面积为正，反之为负，由此可以得到下面这个重要结论：

其中R是杆法向方向的距离，L为杆的长度
下面来说转动：有向面积的定义类似，由此，我们可以得到下面的式子：

其中，θ为转动角度，l为杆长
如果我们将杆的整体运动分解，将其所有法向移动视为f，转动角度视为g，由此我们得到下面的式子：

最后的等号是因为，当求积仪为有约束的求积仪时，左端的移动距离最终为0，亦即θ经过正负向叠加为0，这就是求积仪的工作原理
那么对于斧状求积仪又是怎样的呢？
斧状求积仪并不满足左端闭合的情况，此时，我们只需反向再绕一圈，此时，左端的运动轨迹为闭合曲线，也就满足了上述条件，但是对于其产生的误差，可以用下面的式子表示：

σ表示重端的位移，显然，在L充分大，重端与轻端质量差充分大时，逆时针与顺时针的差可以忽略，法向位移等于重端位移，由此也证明了斧状求积仪的使用原理

二、代数部分的证明

本篇仅以有约束轴的求积仪为例来证明
先给出咱们的两个主角：极点求积仪和线性求积仪

左边的是线性求积仪，右边的是极点求积仪，我画了两个更形象一点的图：

这是极点求积仪，L是杆长

这是线性求积仪，L同样是杆长
事实上，我们可以将二者做一个统一，本质上，是左端受到约束曲线的约束，导致最终左端位移为0，我们用下图来表示：

图中（a，b）为左端坐标，（x，y）为右段坐标，L为杆长，那么运用格林公式，可以得到下面的推导过程：

当然，使用格林公式的“向量形式”也可以很好地解释这个问题
由此，我们使用代数工具证明了有约束轴的求积仪的原理
另外地，如果使用闭合曲线的转化方式，也可以将斧状求积仪的证明转化到这个上，其中法向位移近似等于重端位移即可，留给同学们自行探究！（当然为了严谨，可以用曳物线来近似）