函数极值（从一元到多元）

当然这个题目写的十分不负责任，我不可能在有限的篇幅内写完所有的方法，所以本篇添加一个目录，目录中提到的内容便是我会讲的
一、一元函数极值
1、不等式法
2、数形结合法
3、求导法
二、二（三）元函数极值
1、不等式法
2、数形结合法
3、一些特殊处理方法
4、完全对称三元函数极值的一个判定定理
三、多元函数极值
1、总述函数极值
2、一个常用的方法
3、条件极值（拉格朗日乘子法）

——————以下是正文——————
一、一元函数极值
虽然将这一部分放在第一位，但绝不是因为它简单，著名的数学家曾经说过，自然万物的本质都源于单元函数
1、不等式法
在这一部分的不等式其实很少，无非有三类，其一是对钩函数的均值不等式，其二是函数部分的函数不等式（与求导法息息相关），其三是一些特殊不等式（比如Jordan不等式，或是一些超越函数不等式）
这一部分的话，就一元来说，方法还是较为清晰的，对于校内已经学习过的均值（基本）不等式已经足够
2、数形结合法
一元函数的数形结合自然是将图像画出来，找它的符合要求的最高点或最低点，或特殊情况下的点（特指条件约束）
举个例子，比如

这里注意定义域和值域，画出图像就可以一目了然

3、求导法
这个方法其实大家都习以为常，由一个充分条件

必要性的反例很简单，比如y=x^3在0处导数为0，当然充分条件也有成立的大前提，在这里不多赘述
二、二（三）元函数极值
1、不等式法
这里的不等式就比较多了，比如柯西不等式，均值不等式，赫尔德不等式等等（显然代数并不是我的强项）
2、数形结合法
这里主要介绍两种，一个是线性规划，一个是真正的数形结合（二元）
先说线性规划，多用于两元，本质上是在变量相互约束的时候，求函数极值，只需要将约束的部分画出，在通过条件的适当转化即可
举一小例，比如

这里现将条件变形可见是直线围成的平行四边形区域，再将大条件约束，根据要求求得答案即可！
另一个是在空间中画出相应的平面、曲面图像，找到最小值即可
以上面的题为例划出四个平面即可

3、一些特殊处理方法
这里的特殊处理方法针对三元对称式，因为对称式有一个基本定理，即

这也是大家熟知的pqr法，这里有两个重要的式子，其一是舒尔不等式，其二是终极不等式（证明略去）

4、完全对称三元函数极值的一个判定定理
上回我们提到过所有完全对称三元函数都可以通过三个基本量来表示，即：

然而，关于这种类型的函数还有一个特殊方法，来判定取等条件，先给出这个定理的完整表达（证明略去）

三、多元函数极值
啊，终于到了这比较有趣的部分，下面的内容可选择性无视
1、总述函数极值
一般情况下，一个函数的极大值与极小值是指在某一点的邻域内，其任意异于这一点对应的函数值都小或大于这一点的函数值，对于这种定义，我们通常可以用求偏导的方式求出二元函数的极值
比如一个二元函数f，其在x，y取得极值，则有f对x求偏导和对y求偏导的值为0，表述为

但这对更多原函数几乎是失效的，详情见本条下第3分点
2、一个常用的方法
这里的常用方法就是指累次极值法，当变量之间的约束不强时（或为自由变量时）可选取主元，通过一元函数的极值求法求得答案
举一小例，如在求三位数与其数字和最小值时，通过注意到若约束条件，可通过累次极值法求得

当然这里的方法还有很多，比如调整法，但需要注意的是，调整中不应该涉及无限调整（因为可能出现矛盾的地方）
3、条件极值（拉格朗日乘子法）
最后的最后，我们迎来了这个方法，又名拉格朗日乘数法，给出方法（证明略去）：

因为方程个数等于未知数个数，我们一般不需要将参数λ或μ解出，用其他方程消掉即可
特别注意的是，这个方法只能解出可能极值点，不清楚是否为极大值或极小值；这个方法对约束条件特别复杂，或函数次数高、有分数、次数不整都具有难处理的特点，希望可以按需斟酌

——————以上是正文——————

终于结束了！不知各位是否对这一片的内容满意呢？