相对论中的若干佯谬的解释
本文从广义相对论的角度解释相对论中出现的若干佯谬。广义相对论的物理图像总结起来就是五件事情：1.时空流形（背景，4维伪Riemann流形，广义协变原理），其参数化，其局部的几何（度规张量），世界线，等等；2.（广义协变的）物理量，即张量场，其运算，即协变导数等；3.观测，即局部Fermi-Walker标架下的投影；4.运动，即测地方程，或广义协变的牛顿第二定律；5.Einstein场方程。
双生子佯谬（Twin paradox）
一对孪生子hina和sayo，sayo登上宇宙飞船作长程太空旅行，而hina则留在地球。结果当旅行者回到地球后，sayo发现自己比留在地球的hina更年轻。
这大概对于初学狭义相对论的人来说比较容易迷惑住，因为他们的观点局限在长度收缩、时间膨胀这类比较表观的现象上边。这里当然不能用时间膨胀，因为旅行者既然要回来，就必须经历一个加速度，所以他所在的必然不是惯性系。
但是这种解释有点隔靴搔痒的意思，只是说时间膨胀不能用，但是没有切中要害。切中要害的解释是，hina走的是类时测地线，sayo不是，所以hina经历的固有时是最长的。不管你从哪个参考系去看，这点都不变，没有任何悖论产生。
随便把时空流形找一个参数化，然后随着世界线积分算出hina和sayo的固有时，就可以算出两人相遇的时候年龄差了多少。
值得一提的是虽然这个佯谬解释起来非常简单，但是在50年代还是有一场很大的论战，主要是
物理学家Herbert Dingle（可能因为年老痴呆变成民科；虽然此人此前也一直有一些民科倾向）从某种“相对性”的哲学观点（"The theory [special relativity] unavoidably requires that A works more slowly than B and B more slowly than A — which it requires no super-intelligence to see is impossible."）认为两个人相遇的时候应该仍然是同样岁数，并且认为狭义相对论是错的。当时的物理学家也不知为何写了一大堆文章去反驳Dingle（比如：Crawford, Frank S., Bull. Inst. Phys., 7, 314 (1956); Fremlin, J. H., Nature, 180, 499 (1957); Darwin, Charles, Nature, 180, 976 (1957); Crawford, F. S., Nature, 179, 1071 (1957); Landsberg, P. T. , Math. Gaz., 47, 197 (1964); McCrea, W. H., Nature, 216, 122 (1967); Fullerton, J. H. , Nature, 216, 524 1967); Barrett, W. , Nature, 216, 524 (1967); Landsberg, P. T., Nature, 220, 1182 (1968); Fremlin, F. H., Nature, 244, 27 (1973); Jacob, R., Nature, 244, 27 (1973); Whippman, M., Nature, 244, 27 (1973); Stedman, G. E., Nature, 244, 27 (1973); Ziman, J., Nature, 241, 143 (1973); Ellis, G. F. R., Nature, 242, 143 (1973); Armstrong, H. L., Nature, 244, 26 (1973).），搞了个大新闻。其实Dingle的观点基本只是因为表述上的混乱搞出的一套not even wrong的逻辑，有点小学生论战的意味，放现在谁去反驳一嘴大概都觉得掉身价。当然不管如何，孪生子佯谬早就被铯原子钟证实了相对论预言的正确性。
法拉第佯谬（Faraday paradox）
这个其实高中物理题里面经常出现，但是很少有人仔细想过其中不对劲的地方。把导体圆盘转起来，会产生感应电流，无论从切割磁感线还是洛伦兹力的角度看都没有问题。现在我们不动圆盘，而是把提供磁场的磁铁转起来，会有感应电流吗？
想想洛伦兹力，就知道当然没有感应电流。有些人会想，磁铁和导体同样是相对转动，为什么从磁铁这个参照系来看就不一样了？或者说，这时候磁感线是在转动，那么磁感线自己去切割导体，相对来说和导体切割磁感线是同一回事，那应该也会有感应电流。
问题出在，磁铁是个转动参照系，里面的磁场和电场都和惯性系里不同。在磁铁参照系里，导体在转动，其中的电子同时受到E和B的作用，二者恰好抵消掉（读者不妨计算一下，用Born坐标）。所以电子走的还是测地线，这个参照系里面的测地线就是匀速转圈。没有任何矛盾出现。
具体来说，在磁铁参照系里边，电子的运动方程为：
右边这个张量场就是0，变换来变换去都是0，所以电子就按照测地线绕圈圈。
一个相关的佯谬是爱因斯坦在《论动体的电动力学》里讨论的那个移动中的磁铁跟导体问题。这从广义相对论的角度来看就单纯就是电磁场张量在不同的Fermi-Walker标架下投影的问题罢了。匀速直线运动的参照系里面电磁场的变换有一个三维版本的公式，是用张量变换化出来的，拿来算这种问题比较方便。
我们还可以基于这个例子做出更多的思考。广义相对论中没有一个特殊的参数化，所有参数化是平等的，这时候的牛顿第二定律就变成前面那种协变的方程。那么，一个自然而然的问题就是：平直时空的非惯性系里面的牛顿第二定律（为简单起见，假设外力为0）会长什么样？比如说，我们考虑一个转动系或者匀加速直线运动的坐标系，里面是不是会出现惯性力、科里奥利力之类的东西？
观测者可以有一个自己的局部标架，但是我们现在想要把这个标架延拓成整个参数化网格（虽然未必能够覆盖整个时空流形），这样一个延拓应该是怎样的呢？首先，时间轴应该就是世界线，并且其标度就是固有时。空间轴呢？这个问题其实相当于问，“同时”的超曲面是怎样的？
相对论里面的同时性是个严重的问题。狭义相对论里面还算好办，广义相对论里面的超曲面切片是可以随便切的。这个切法本身并没有物理意义（the continuation of his local platform of space (given by a small hypersurface of simultaneity) is not unique）。所以这里的做法只是习惯性地取一个合理空间轴（虽然没有实际的物理意义，但是讨论起来方便，比如史瓦西坐标也是这么干的）；它要适合于局部的Minkovski式观测者坐标系（其实也就是把局部坐标延拓出去）。这个习惯性的取法，就可以是Rindler坐标和Born坐标。
首先来看Born坐标。考虑Minkovski时空中一个柱坐标，其度规为
把\theta这个坐标变换成以\omega角速度旋转，其他部分不变，度规变成
这个参数化到底好不好呢？我们首先发现，\partial_T、...、\partial_Z这四个基矢并不是正交归一化的。所以我们应该先做一个Gram－Schmidt正交化流程，得到四个正交归一的4-矢量（单纯按照矢量运算规则和几何直观来，非常方便）：
（读者很容易验证它们是正交归一的）。所以这才是一个适当的参数化（和MInkovski时空类似），具体写出来这时候的重新参数化之后得到一个度规（注意这里的计算都是按照非常普通的微分法则来，其中链式法则不要搞错了），然后拿出这个度规的空间部分：
这就是“旋转观测者看到的空间几何的样子”。这个度规也叫做Langevin-Landau-Lifschitz metric。更加具体的讨论见下面的Ehrenfest佯谬那一部分。
然后来看Rindler坐标。假设一个粒子受固定的力做匀加速运动。这个匀加速当然不是三维的加速度而是4-加速度。加速度为x正方向的\alpha。那么粒子的运动方程就是：
众所周知它的解是一个双曲运动：
速度不断加快，最终趋近于光速。
现在按照这条世界线来建立全局的加速坐标。回到这个世界线：
它对应的应该是自身坐标中X=1/\alpha这个静止不动的点（因为一开始就是静止的，没有涉及洛伦兹变换）。所以可以直接猜测坐标变换的形式为：（容易验证在世界线上的确是正交归一的）
这样X的等值线就是双曲线，T的等值线就是过原点的直线。这时候度规就变成：
这个坐标只覆盖了1/4的平坦时空。这个图很直观，比如我们可以看到：
1.有一个视界，与加速方向反方向，距离开始加速的地方距离为c^2/\alpha。比如说，战斗机的加速度一般不超过10g，对应的视界距离就是97光年外。所以其实日常生活中根本不可能感受到这个视界。
2.一个有质量粒子的自由运动是逐渐落向视界，并且速度越来越慢，需要无穷长的时间才能穿过。
Rindler坐标的图像结合Minkovski图是非常有用的，比如能够用来直观地解释Bell太空船悖论（见后文所述）。
Rietdijk–Putnam argument
让我们继续关于同时性的讨论。
广义相对论里面，local的东西才有物理意义，比如locally measured的速度才是不超光速的，而按照其它方法定义出来的不local的速度可以随便超过光速。同样，同时超曲面是可以随便切割的（除了在狭义相对论里面有特殊的切割方式），所以在广义相对论里面就没有“同时”这个概念，这完全取决于参数化，让你同时就同时，让你不同时就不同时。即使是狭义相对论里面的惯性坐标参数化，两个观察者（速度不同），从他们的意识角度来看，他们在同一地点，在同一时刻，在他们的“当下时刻”也会有着完全不同的事件集（特别是在宇宙尺度上）。Roger Penrose有这样一个比喻：
Alice和Bob在路上经过。在他们相遇的瞬间，对于Alice来说，就在这个瞬间，一支仙女座的太空舰队出发入侵地球；对于Bob来说，就在同样的这个瞬间，这支太空舰队已经出发了一个月了。
两个人都没有说错，因为他们的“当下时刻”的事件集不同（即局部标架延拓出来的参数化不同）。而且他们其实谁都不知道舰队到底有没有出来，因为谁都没有观测到这一点（不同的参数化并没有观测效应的差异），必须要250万年之后，人们才会知道，在史前的那个瞬间，Alice和Bob说得对不对。
再举个例子，假如几个人因为某些阴谋被输送到了离“地球”5012光年的地方，那他们在阿斯特拉号上是无法讨论“这个时候”“地球”上是几月几号的。
总结来说：in relativity the present is a local concept that cannot be extended to global hyperplanes.或者说：
That no inherent meaning can be assigned to the simultaneity of distant events is the single most important lesson to be learned from relativity.
— David Mermin, It’s About Time
梯子佯谬（Ladder paradox）
虽然叫梯子佯谬，但是用汽车打比方更好点吧。
一辆车子，比车库要长一点，所以停不进去。司机突发奇想，如果他把车开得很快，车就会因为相对论效应发生长度收缩，然后长度小于车库，就可以停进去了。
但是司机坐到车上后发现，如果从车的角度来看，车开得很快，车库就会因为长度收缩变得更短，那就更不可能停进去了。
这个悖论从几何的角度很好理解（Minkowski图，其实就是时空流形在平直情况下省略掉两个维度的东西；有时候省略掉一个空间维度也行，那就可以讨论二维的问题了）（另外这个Minkowski图的两个坐标系其实应该这样理解：一个是原先的惯性系，另一个是观测者的局部坐标延拓出来的全局的惯性系）。
所以很容易看出来，从路人看来，车尾刚好进车库的那一刻，从司机参照系来说，他已经撞上墙壁了。这是同时的相对性导致的问题，而且车的非刚性也是人们很容易忽视的一点。这个问题里我们必须把车撞上墙壁之后的事情考虑进去：车必然会形变，但是力的传播速度不会超过光速，所以车尾在很短的时间内仍然照常前进，它不知道车头已经撞上了，并没有受到这部分的力。这里的trick就是车撞上墙壁之后的事情是必须要考虑进来的，但是因为日常生活中忽略了同时的相对性，所以默认“事情只需要考虑到车撞上墙壁的瞬间为止”。
这个佯谬有另一个版本，看图就知道了。解释是完全一样的。
另外一个类似的佯谬称为"bar and ring" paradox。
一根棍子，长度略长于圆环的直径。棍子保持与圆环平行，以相对论性速度斜着飞过去，导致长度缩短，能够穿过圆环。
但是，从棍子的角度看，圆环在相对论性速度下收缩，长度变短，应该无法穿过。这个悖论其实解释起来简单得像一个脑筋急转弯：在棍子参照系里面，因为速度方向的长度压缩，圆环不再与棍子平行，而是会有一个角度的倾斜（类似于Terrell旋转，不过不是观测者视角下的旋转，而是参照系下面的旋转）
各种超光速现象
这些“超光速”的问题基本都出现在速度的定义上。真正不能超光速的速度是4-速度投影在某个观测者标架下得到的观测速度，是一个局部的概念。其它定义出来的乱七八糟的速度，可以随便超过光速。
灯塔佯谬。从灯塔发出的旋转光束从一个物体扫过而照射到另一个物体上。两个物体离灯塔越远，光束穿过的距离就越远。如果物体离灯塔足够远，光束击中物体的地方会以比光速快的明显速度穿过物体。问题在于没有实际粒子或信息在这个过程中被传递，只是人为定义出这么一个“速度”罢了。
宇宙膨胀的超光速。比如这样一个度规的宇宙：ds^2=-dt^2+a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2)，其中标度因子a(t)的膨胀产生一种“速度”，并导致宇宙学红移。但是这也不是我们说的4-速度的投影，所以并没有不能超光速的限制。
我站在地球上绕一圈，头顶上的星星的转动速度远大于光速。这也是速度定义的问题，并没有一个实际的4-速度投影在我的标架上。
为什么说4-速度投影在某个观测者标架下得到的观测速度不能超过光速，其实很直接：实物粒子的世界线是类时曲线，其上面每一个切向量都是类时的；实物观测者的世界线也是类时曲线。所以这两个切向量的内积肯定是负数，对应于说\gamma因子肯定是一个实数。
Bell太空船佯谬
我们有两艘太空船，它们之间系了一根没有弹性的细柔易断的绳子。两艘太空船前后排列，向着同一个方向，用同样的加速度同时开始运动。问题是：绳子会断吗？
从惯性系来看，太空船之间的距离是不变的（不会有洛伦兹收缩，为什么？画一下Minkowski图就知道了），但是绳子是会有洛伦兹收缩的。结果就是，绳子会断裂。
那么从太空船参照系来看如何？绳子长度不变，但是太空船同时加速，距离也不变，似乎绳子不会断？
这个佯谬的错误出在太空船参照系上。只要一看Rindler坐标就知道了：
如果按照左边那艘太空船的世界线来构建Rindler坐标，那么右边那艘虽然在惯性系下面是同时加速的，但是在Rindler坐标中x轴的值却在不断增大。也就是说，从左边那位看来，右边那位其实是在一直相对他向右运动。
简单的理解就是：因为同时的相对性，从左边的飞船看来，在他加速的瞬间，右边的飞船已经开始加速一段时间了。完全不需要定量计算，直接看Rindler坐标就能够理解。
所以最终的结论就是：不管从哪个坐标看，绳子都会断。
Ehrenfest佯谬
一个盘子，半径为R，于是周长是2\pi R。现在我们把这个盘子绕着圆心高速旋转，那么盘子的边缘会因为尺缩效应变短，但是半径没有尺缩效应，所以盘子的周长和直径之比居然小于pi了？
这是一个极具迷惑性的佯谬，在历史上也经过了非常多的争论。问题其实还是出在刚体上：狭义相对论里面不存在绝对的刚体（因为它要求力的传播速度是无限大，超过了光速）。
首先，惯性观测者看到的空间的平直的，所以不管盘子转得多块，周长都必须是2\pi R，这点不会出任何问题。
其次，前面我们计算出来，从转动观测者来看，空间的样子应该是：
这样子的，也就是说，转动观测者看来，空间并不是平直的（要注意，空间几何非平直，但是时空几何仍然平直；另外，为了说明这个度规并不是“假弯曲”，可以计算一下曲率来验证）。对于半径为R的圆，其周长却变成了
这个结果恰好和尺缩效应计算出来是一样的！
最后，仍然遗留有一个问题：盘子是如何从静止转动起来的？静止的时候，周长也应该是\gamma 2\pi R，那又与平直空间的几何崩坏了。
解答是：因为刚体与相对论不兼容，盘子在转动过程中必须会有自身的形变。所以这个悖论出错的地方在于假设本身不合理。我们只能讨论“一开始就静止的盘子”或者“一开始就在匀速转动的盘子”，如果要把盘子加速，它要么形变，要么破裂，不可能完全维持原先的周长。
我们还可以进一步思考一下，旋转观测者看到的这个空间
到底是怎样的空间？（其实“看到的空间”这个说法有点问题，因为真正观测的只有局部量，这个“看到的空间”有参数化的任意性，不过不管怎样都是弯的）
半径为c/\omega这个柱面是一个分割面，它相当于线速度达到光速的那些物体所在的面。半径虽然是有限值，但是周长是无穷大。这个性质类似于Poincaré圆盘（虽然度规并不一样）。
在近处，这个度规渐进趋向于平直空间的度规。所以说，只有远离观测者的地方才有明显的空间弯曲。
因为空间的弯曲，圆周率膨胀了。
半径为c/\omega这个柱面到底是怎么回事还可以仔细想想：它不是奇异的，看坐标变换前的度规就知道了：
从这个度规来看，柱面外面的物体是不可能静止的（若不然，它的世界线居然变成类空的了）。这很好理解，因为不能超光速。这是一种
。这跟Kerr黑洞的稳态极限面有点像（g_{tt}=0，而不是事件视界g_{rr}=\infty）。
旋转观测者的时空还有一些比较微妙的地方。回到之前那个坐标变换：
这个标架其实是有点问题的。尝试在原坐标中画出「旋转观测者的同时超曲面」，会得到这样一个奇怪的曲面：
As the figure shows, our attempted hyperslice would lead to a discontinuous notion of "time" due to the "jumps" in the integral curves (shown as a blue colored grid discontinuity). Alternatively, we could try to use a multivalued time. Neither of these alternatives seems very attractive! This is evidently a global obstruction. It is of course a consequence of our inability to synchronize the clocks of the Langevin observers riding even a single ring – say the rim of a disk – much less an entire disk.
最后还有两个remark:
在这个度规下面的测地方程自然给出了离心力和科里奥利力两项，这说明这两个力可以在广义相对论的框架下自然地推出（甚至可以说这种坐标变换本身就该用广义相对论解释）。
在狭义相对论中速度没有绝对的意义，但是角速度具有绝对的意义。相对论并不意味着什么都是相对的（就像很多人根据“什么都是相对的”认为孪生子佯谬中两个人应该年龄相同）。Sagnac effect就可以测量出这个绝对的角速度。这种absolute retation还可以在Kerr几何中看到，比如著名的Lense-Thirring进动，一个自转的球体和静止的球体，其造成的时空弯曲是不同的，这个不同可以通过陀螺仪的进动测量出来。再比如，类时测地线的固有时最长也是绝对的。
Supplee佯谬
考虑一艘恰好悬停在水中的潜艇。忽略水的一切阻力。假如这艘潜艇水平运动起来，它是会上浮还是下沉，或者仍然悬停？
如果从旁观者看来，潜艇运动起来之后，因为长度收缩，密度变大（同时还有动质量的增加），所以应该下沉。但是从潜艇的驾驶员来看，水动起来之后，因为长度收缩，密度变大，导致浮力变大，所以应该上浮。
这是一个相当微妙的佯谬（可能是这篇文章里面最难解释的一个）。关于这个佯谬，有三篇很好的文章可以参考：
Supplee, J. (1989). "Relativistic buoyancy". Am. J. Phys. 57: 75–7. Bibcode:1989AmJPh..57...75S. doi:10.1119/1.15875.
Matsas, G. E. A. (2003). "Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the "submarine paradox"". Phys. Rev. D. 68 (2): 027701. arXiv:gr-qc/0305106. Bibcode:2003PhRvD..68b7701M. doi:10.1103/PhysRevD.68.027701.
Vieira, R. S. (2016). "Solution of Supplee's submarine paradox through special and general relativity". EPL. 116 (5): 50007. arXiv:1611.07517. Bibcode:2016EL....11650007V. doi:10.1209/0295-5075/116/50007.
实际上最终的结论应该是下沉。简单来说是这样解释的：旁观者的视角没错，而潜艇驾驶员的视角不仅伴随着海水密度的增大，重力也会受到影响（相当于Rindler度规再做一个洛伦兹变换），所以不能直接按mg去思考。
具体的分析如下：无非是这个公式（把右边换成4-浮力）
其中地球附近的度规简化成Rindler的形式（线性形式，忽略掉二次项）：
先计算出潜艇的局部标架(T,X,Y,Z)：
（v=0时就退化为原来的坐标）
然后放到局部坐标里面，按照测地方程去算就完事了（需要注意的是，测地方程左边直接按照度规写出来没问题，但是右边是有些微妙的。浮力的阿基米德定律并不能直接推广到相对论系统，必须回归到浮力的本质：压强的积分，而压强在相对论系统中的变换需要使用流体的能动张量。所以右边4-浮力的项必须经过非常仔细的考量）。
但是，因为Rindler坐标实际上可以变换成Minkovski坐标（均匀引力场，按照等效原理，可以等效于一个匀加速系，而且是全局的），所以我下面可以给出一个比较简单的、仅仅依赖于狭义相对论的解释方法。这个解释利用等效原理，把度规变成简单的\eta_{\mu\nu}，所以可以不用费精力去计算复杂的度规，而仅仅从Minkovski图来直观地解释。
根据等效原理，均匀引力场可以等效于匀加速直线运动。考虑这样一个水池和潜艇，它们都受到一个力，向z轴正方向做匀加速直线运动。我们的观测者R在惯性系里面旁观，而另一个观测者R'则跟随潜艇在x方向的匀速直线运动而运动。它也是一个惯性系。
这样模型的建立就完毕了，全部在平直时空的惯性系里面完成，没有涉及任何非惯性系，也没有任何非Minkovski的度规，所以狭义相对论完全够用。
在R看来，潜艇因为长度收缩，密度变大（水的密度也变大了，但是潜艇有两个速度的合成，所以收缩更厉害），所以会下潜。没有问题。
在R'看来，潜艇和水都在运动，但是水的速度相反变得更大，所以水的密度更大，潜艇应该上浮。这个逻辑没有错。关键在下面的观察：在R'看来，水池底部并不再是一个水平的平面了。它会是什么样子呢？
我们来看图中“水池底面的世界面”这个曲面，它在R坐标中的方程为
把这个方程做洛伦兹变换到R'下面，曲面方程变成：
注意到，对于R'中的一个时间切片，这不再是一个水平平面，而是一个双曲线形状的面。而对于X=0，也就是潜艇所在的位置，它会发现：
所以水池潜艇看到的水池的底面变成：
水池的底面居然在不断上升！(趋近于一个线性的上升)
（这个水池底面的上升其实可以用洛伦兹收缩来直观地解释：水池必须有这样一个向“右上”弯曲的形状，才能在向“左上”的运动中因为长度收缩变成水平）
同时，潜艇自己也在上升，其加速度为g(\gamma^2-1)，总的加速度就是g\gamma^2，所以其运动是这样一个双曲运动：
比较一下这条双曲线和
的渐近线的斜率，我们就能看到，潜艇的上升一定是赶不上底部的上升的。所以它最终还是会撞到底部。
最终，这个佯谬的解释就是这样的：
如左图，从旁观者（注意不是与水相对静止的参照系，而是等效原理转换之后的惯性参照系）看来，潜艇因为长度收缩，密度变大，所以向下沉。从移动参照系来看，水因为长度收缩，密度变大，所以潜艇上浮。但是潜艇在上浮的同时就撞到底面了。
注意，前面的讨论是有近似的，比如没有考虑z和x方向两个速度的合成。严格算起来还是相当麻烦的。
最后，我讨论一下关于等效原理的一些事情。
广义相对论的“公理”可以归纳为两条：广义协变性原理（包括了四维流形和张量场这些几何描述）和Einstein场方程。等效原理并不是广义相对论的一条founding principle，只是a simple consequence of the geometrical nature of the theory（马后炮的说法；如果从历史观点来看，等效原理当然是the key to GR）。
Starting with the equivalence principle, Einstein deduced the phenomena of gravitational time dilation, the gravitational bending of light (albeit with the wrong value), and the gravitational slowing of the speed of light. By 1912, however, Einstein had reached an impasse, realizing that he needed to go beyond the mathematics that he knew and was familiar with.
我们所说的强等效原理，指的是在时空区域的一点内的引力场可用相应的局域惯性参考系去描述，而狭义相对论在其局域惯性参考系中完全成立。为什么说它只是一个几何推论呢？因为Riemann的一条定理说，流形某点的领域，总存在坐标系是的度规在零阶、一阶与\eta吻合（二阶及以上就无法保证了），这个坐标叫做Riemann正则坐标（注意，零阶吻合是trivial的，只需要正交归一化即可；一阶才是nontrivial的）。这个坐标其实就是一个时空事件点附近建立起来的局部惯性系（在这个点处严格平坦，在附近“一阶”平坦）。之前计算过一个例子，通过世界线计算出观测者的局部Fermi-Walker坐标，这个Fermi-Walker标架向外扩展一下，满足：1.这个点处的度规完全是\eta（四根轴正交归一）；2.附近的度规与\eta稍微有点偏差，但是这个偏差是一阶的。这就是强等效原理的严格表述。
再举一个例子。在地球附近的重力场，其度规应该用史瓦西度规描述。在近似到一阶的情况下，这个度规可以变成Rindler度规，再把这个坐标做一个加速的变换，就变成局部的\eta度规了（这时候的偏差只剩下二阶的）：这说的就是弱等效原理（观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力）。
Supplee佯谬也许还有另一种解释方法，就是引力电磁性（gravitoelectromagnetism）。这是Einstein场方程的弱场近似，在弱场近似下，引力场会变成和电磁场一样：
“洛伦兹力”也有一样的形式：
在旁观者参照系看来，只有“重力电性”，潜艇下沉。在潜艇参照系看来，因为重力场的平移，出现了“重力磁性”，贡献了附加的重力，抵消了浮力的上升。
话说回来，库仑定律和牛顿的万有引力定律在形式上完全一样，但是其背后的“真面目”分别是Maxwell方程和Einstein方程，二者看起来是完全不同的。不过gravitoelectromagnetism这套理论告诉我们的是，Einstein场方程在弱场近似下可以变成一个和Maxwell方程相同的形式，那么库仑定律和牛顿的万有引力定律在形式上完全一样也就不足为奇了。Gravitoelectromagnetism也可以用来直观地解释Kerr几何中出现的“引磁性”（即参照系拖曳）效应。
Trouton–Noble佯谬
考虑这样一个直角形的杠杆，用两个一样大小的力保持平衡。假如从一个水平运动观测者来看，ab长度不变，但是bc长度变短，那bc边的力矩会变小，杠杆应该会转起来？
解释起来很简单，力需要以4-力的形式做洛伦兹变换，变换之后杠杆还是不会转动。这个佯谬跟前面的几个比起来要水得多，之所以提它是因为它是早期否定以太存在的一个实验。
总的来说，这些佯谬都是这样一个类型：在一个参照系下会发生一个事件，但是在另一个参照系下却发生了相反的事件。广义协变性原理（general covariance）要求物理规律在不同的可微坐标变换下都是不变的，所以广义相对论必然会阻止这类悖论的产生。这些佯谬产生的原因，大部分是因为直觉上没有理解同时的相对性，因为日常生活的尺度是很难认识到同时的相对性的。
