Python练手：想在做数学题的时候摸鱼吗？

举个例子，这是《高等数学》（同济大学版）中的一道课后练习题（1998年，数学三真题），不妨来一起解一下这道题吧。

首先，根据题意，结合旋转体体积公式，列出等式：

稍作化简，即得：

两边分别求导，得到一个微分方程：

将这个微分方程化成带有的形式，并将移到等式左侧：

之后，就可以使用程序来解这个微分方程了，

所以，求得为微分方程的通解为：

然后，使用程序化简一下这个表达式

化简后的表达式为：

将代入上式，使用代码解方程：

解得C=1。

于是，所求最终的解为：

最后，我们来对照一下给出的标准答案解题步骤。

相比于标准答案的换元、分离变量等操作，我们只需要几句代码就可以一步求解出微分方程的通解，代入特值的方程也可以使用代码一步求解。

由此可见，我们在做数学题的时候，还是可以在一定程度上使用代码来摸鱼的，那些乏味的解方程、化简的过程，就直接交给电脑去做吧。当然，一般情况下，还是建议大家手动计算，毕竟是要锻炼计算能力的，代码只是起到辅助作用，建议大家只在验算答案的时候使用代码辅助计算，而不是完全依靠电脑为我们解题运算。

记得有一次上课小测验，老师有事没来上课，让课代表发了一张全是定积分的练习题，要求我们尽快做完，只写结果就行，然后就默默拿出手机打开浏览器，找了个带有sympy库的python在线编译环境，然后就...你懂得...

如果想要在做数学题的时候摸鱼，那不妨来试试使用Python解方程、化简多项式、求极限、微积分、计算矩阵吧。

虽然，对于数学运算来说，我们或许可以选择更加专业的工具，比如matlab、mathematica等软件，但是，python依然具备这些专业软件不具备的优势。

python开源免费，占用体积小，随用随取，比专业的数学软件更加自由灵活轻便。如果想要在做数学题的时候摸鱼，大可不必使用付费的专业数学软件。而且，学习使用python的数学运算，也可以让我们在以后分析其他问题的时候大展身手。结合python爬取数据的优势，我们也可以快速部署各种研究项目。

本人非专业程序员，本文如有不足，还请海涵。

基础知识：数学运算符

在正式开始之前，不妨先来了解一下Python当中的数学运算符（常用的算术运算）。

① 加法 ：+

② 减法：-

③ 乘法：*

④ 除法：/

⑤ 取余：%

⑥ 整除：//

⑦ 乘方：**

常用数学函数：math库

本文的主角是sympy函数库，但在讲解sympy函数库之前，各位最好先了解一下Python自带的math库函数内容，这样有利于打基础。当然，如果各位对这部分不感兴趣，也可以直接跳过，将文章下滑到sympy部分。

首先，需要导入math函数库。（math库是Python自带的一个函数库，主要包含基本的数学运算函数与常数。）

求绝对值，例如|-2|。

以上两种写法都是可以的，输出结果都是2。第一种方法是Python核心库自带的函数，第二种方法则是调用math函数库中的函数。

求开平方，例如求 。

以上两种写法都是可以的，输出结果都是1.4142135623730951。第一种方法使用的是乘方的算法，开平方，其实就是计算一个数的0.5次方。

求阶乘，例如求 5！。

输出结果为120。

取整，例如对2.33和-2.33分别向上、向下取整。

首先是向上取整，这两行代码分别输出3，-2。

接着是向下取整，这两行代码分别输出2，-3。

四舍五入，例如对2.33333和6.66666分别进行四舍五入，保留小数点后2位。

两行代码分别输出2.33和6.67。这里的round函数是Python核心库的函数，非math库函数。

数学常数，一些具有代表性的常量。

使用好这些常量很重要，因为某些特定的函数中需要使用到它们。

三角函数，例如分别计算的正弦、余弦值，的正切值。

由于计算精度的问题，所以这三行代码分别返回1.0，6.123233995736766e-17（6.123233995736766×10的-17次方），0.9999999999999999。

只需要使用四舍五入函数进行结果近似即可，近似后返回1.0，0.0，1.0。

反三角函数，例如分别求1的反正弦、反余弦、反正切值。

三行代码分别返回小数形式的结果，依次为1.5707963267948966（接近π/2），0.0，0.7853981633974483（接近π/4）。

反余弦值，结果范围在0到π之间。

反正弦值，结果范围在-π/2到π/2之间。

反正切值，结果范围在-π/2到π/2之间之间。

值得注意的是，math函数库中的反三角函数只能返回小数形式的结果，如果想要返回π/n的形式的结果，则需要使用sympy函数库，别着急，我们会在下文介绍它。

幂函数，例如求。

这3种写法都是可以的，其中前2种写法会返回8，第3种则会返回8.0。

自然幂函数，例如求。

第1句代码会返回7.38905609893065，这通常比math.e**2或pow(math.e,2)更精确。

对数函数，例如求，，。

math.log(y,x)是通用的对数函数形式，用于表示。

当仅赋予math.log函数一个参数时，就会默认底数为自然常数e。

使用专门的math.log2(x)与math.log10(x)函数要比math.log(x,2)与log(x,10)的运算结果更加精确。

至此，本文已经简单地介绍了math库的常用数学函数，如果有小伙伴想要了解完整的math函数库内容，请自行访问：

https://docs.python.org/zh-cn/3/library/math.html

分数运算：fractions库

在做数学题的时候，我们经常会遇到分数与分数的各种运算，而一般的计算器程序只会输出小数结果，这让我们非常不爽。于是，我们来尝试一下使用Python进行分数的运算。

首先，导入fractions函数库，这是一个涉及分数运算的函数库。

然后，使用Fraction函数创建一个分数。比如，创建一个值为1/2的分数。

以上创建分数的3种方法均可：第一种是直接输入数字形式的分子与分母，使用2个参数；第二种是输入文本形式的分数，记得加引号；第三种是输入小数形式的数字，会自动转化为分数。

了解如何创建分数以后，我们就可以进行各种分数的运算了，比如计算114/514+514/114。

程序的输出结果为Fraction(69298, 14649)，也就是69298/14649。

前期准备：符号运算SymPy与IDE工具Jupyter

SymPy 是一个由 Python 语言编写的符号计算库。什么是符号计算 ？处理数学对象的计算称为符号计算。在符号计算中，数学对象是精确表示的，而不是近似的，未计算的数学表达式会以符号形式保留。

还记得我们在上文说的反三角函数吗？不如来比较一下math库与sympy库函数的计算结果吧。

除了精确表示以外，sympy还可以进行符号运算，这对我们求解方程非常方便。

然而，Python自带的核心函数库中并不包括SymPy，因此，我们需要使用pip命令额外安装一下sympy函数库。

按下Win+R键，输入“cmd”，打开“命令提示符”，输入“pip install sympy”，按下回车键，等待命令执行完成。

由于在做数学题的时候，我们需要反复计算，因此，我们最好使用一个具备良好的交互性和记录功能的IDE工具，这里推荐使用Jupyter Notebook。

IDE是什么？集成开发环境是用于提供程序开发环境的应用程序，一般包括代码编辑器、编译器、调试器和图形用户界面等工具。集成了代码编写功能、分析功能、编译功能、调试功能等一体化的开发软件服务套。说句人话：IDE是写代码的工具。

按下Win+R键，输入“cmd”，打开“命令提示符”，输入“pip install jupyter”，按下回车键，等待命令执行完成。

之后，我们新建一个文件夹，打开这个文件夹，来到这个文件夹目录下。（之后我们在Jupiter Notebook中编写的代码记录都会保存在这个文件夹里。）

在资源管理器的地址栏输入“cmd”，按下回车键，会弹出一个命令提示符窗口。

在这个黑色的窗口中，输入“jupyter notebook”，按下回车键，等待命令执行完成。

之后会使用默认浏览器打开一个网页，这里就是我们编写代码的环境了。点击右上角的New，然后选择Python3新建一个文件即可。

在方框中输入代码，然后点击上方的“运行”按钮就可以运行代码了。（快捷键Ctrl+Enter）

当然，如果各位嫌麻烦，也可以直接使用Python自带的IDLE。

也有网友会问到，为什么不使用PyCharm等更加专业的IDE工具呢？这就好像在问，为什么剔牙的时候要用竹签而不是用竹竿呢？PyCharm适合开发比较大的项目，它占用内存太大了，对电脑要求较高，容易卡顿；而Jupiter Notebook轻便灵活，占用体积小，最重要的是，它会保存你输入的代码以及运行的结果，方便以后回顾查看，对于数学研究类项目来说非常好用。

打好基础，做好准备工作，接下来我们开始正式讲解Python中常见的数学运算中的科学计算功能。本文将会以举例的形式进行讲解。

首先，依旧是需要导入sympy函数库。

以上三种导入函数库的方法均可，但是建议使用前两种。

先来讲解一下这三种导入方法的不同点。

如果采用第1种方法，那么调用相关函数的方法需要这样写（最标准的写法）：

如果采用第2种方法，那么调用相关函数的方法需要这样写：（第2种方法与第1种没有本质区别，只是命名了一个简写）

如果采用第3种方法，那么调用相关函数的方法需要这样写（可以直接调用，无需额外写函数库名）：

看起来第3种方法调用的时候更加方便诶~但是为什么建议使用前两种呢？这是为了避免命名冲突。

比如说，张三函数库里有个函数叫做喘气，李四函数库里也有个方法叫喘气。

如果我们用前两种方法，可以很清晰地知道需要调用谁的函数。

但是如果我们使用第3种方法的话，那么这个函数是调用谁的呢？

本文采取的导入方式为第1种。

注意：下文所写代码#开头行为注释，仅供阅读代码方便理解使用，在实际练习中，不需要额外书写注释行。

求解方程

（1）一元方程求解

例1. 求解 

首先，通过移项，将方程的右边变为0：x^2+4x+3=0

然后，使用代码进行求解：

求解的结果如下所示：该方程的解为-3或-1。

例2. 求解  

还是同样的写法，只不过需要注意的是，这里我们需要调用sympy库中的exp()函数，而不是math库中的。

求解的结果如下所示：该方程的解为0。

（2）未知参数一元方程求解

例3. 求解 

有时，我们的方程中含有未知参数，这依然可以求解，只不过就是多定义几个变量而已。

注意这里，因为含有多个未知数，因此，我们需要在solve函数中添加第二个参数x，这样程序才会求解关于f(x)=0的解，否则默认就求解f(a)=0。

这是正确的写法：

这是错误的写法：

（3）多元方程组求解

例4. 求解方程组

x - y + z = 9

3x + 2y - z = 15

x + 5y -z = 26

输入以下代码进行求解：

求解结果如下所示：

求解不等式

（1）一元不等式求解

例5. 求解   

这里由于右侧为常数，所以可以不移项，但如果右侧含有未知数，建议先移项，将右侧转化为仅含0的形式

求解结果为 x<-3 或 x>-1

（2）一元不等式组求解

例6. 求解不等式组

这里需要先移项，将右侧转化为仅含0的形式，然后再编写代码，求解的时候，要用[ ]将两个条件包裹起来，solve函数只需要一个参数，这个参数是一个list。

求解结果如下：x≤-13/7

处理多项式

（1）因式分解

例7. 分解多项式 

分解多项式需要用到factor函数。

分解结果如下：

（2）多项式展开

例8. 展开多项式 

展开多项式需要用到expand函数。

展开结果如下所示：

（3）多项式化简

例9. 化简多项式 

化简多项式需要用到cancel函数。

化简结果如下所示：

求极限

（1）函数求极限

例10. 求极限 

在代码中，需要使用sympy.oo（两个英文小写字母o）代表+∞，limit函数需要3个参数，第二个参数是自变量x，第一个参数是函数y=y(x)，第三个参数是自变量x趋近的值。

求得极限值为0.5

例11. 求极限 

方法是一样的，只不过把∞换成了常数。

结果中的oo代表∞

（2）数列求和求极限

例12.  求极限 

使用summation函数构造数列求和的形式，第一个参数为表达式，第二个参数为包含自变量、起点、终点。

使用Juputer有个好处，如果直接调用变量的话，会输出优化后的显示结果。

如果直接使用print函数输出的话，就是普通的文本形式。

求导函数

（1）一元函数求导数

例13. 求函数  的一阶导数 

使用diff函数构造导函数，如果只填写一个参数，就默认求一阶导。

求导结果如下所示：

例14. 求函数  的10阶导数

使用diff函数构造导函数，第三个参数可以指定求几阶导数，第二个参数需要写自变量。

求导结果如下所示：

（2）多元函数求偏导

例15. 已知函数   

求偏导数，依然使用diff函数，只不过各位需要额外注意参数的放置情况

求偏导结果如下所示：

（3）隐函数求导

例16. 求隐函数  的导数

隐函数求导需要使用idiff函数。

求导结果如下所示：

（4）参数方程求导

例17. 求参数方程的导数

x = 2cost

y = 3sint

求导结果如下所示：

（5）求泰勒展开式

例18. 求 f(x) = cosx  在 x = 0 处的5阶泰勒展开式

求解泰勒展开式需要使用series函数，第一个参数是自变量，第二个参数是x的值，第三个变量是阶数。

泰勒展开式结果如下所示：

求函数积分

（1）求不定积分

例19. 求不定积分 

求不定积分，需要使用函数integrate，第一个参数是被积函数，第二个参数只需要自变量x。

积分结果如下所示：-x + tanx +C （记得手动加常数C）

（2）求定积分

例20. 求定积分 

求不定积分，依然使用函数integrate，第一个参数是被积函数，第二个参数分别写自变量x、积分上限、积分下限，用( )包裹起来。

积分结果如下所示：1

（3）求多重积分

例21. 求二重积分 

多重积分也是用integrate函数，只不过是需要往后继续堆参数而已。这里就只展示二重积分了，其他更多重积分只需要往后叠加就可以了。

积分结果如下所示：

求解微分方程

（1）求解可分离变量的微分方程

例22. 求方程  的通解

首先，将方程转化为一边为的形式：

然后，使用代码进行求解。令。

其中：cls=sympy.Function代表此处为需要求解的函数；Eq表示相等，即建立f'(x)与右侧式子相等的关系。

输出结果非常直观，直接输出原函数，但是建议大家化简一下：

（2）求解线性微分方程

例23. 求 5 f '(x) + 2 f(x) = cosx 的通解

这里依然需要创建Eq对象，分别将等式两边放入两个参数的位置。

计算结果如下所示：

例24. 求  的通解

如果遇到高阶导函数，只需要在diff中输入第二个参数表示阶数即可，其他与一阶的求解方法相同。

计算结果如下所示：

矩阵计算

（1）创建矩阵

根据不同的需求，有以下几种方法创建矩阵。

创建结果如下所示：

（2）修改矩阵

如果需要修改矩阵的某个元素值，可以直接按照类似修改数组的方式对其进行修改。只不过格式有些不同，坐标之间需要用逗号隔开，或者直接按照由行到列的顺序从0开始进行编号。

两种方法修改结果如下所示：

也可以直接修改某一行或某一列。矩阵的第一个坐标代表行，第二个坐标代表列，使用:（冒号）代表所有的行或所有的列，例如m[2,:]代表第3行以及所有的列（从0开始编号，所以2代表第3行，第3行以及所有的列的交集就是第3行）。

修改结果如下所示：

（3）矩阵计算

矩阵计算包括但不限于矩阵加减乘法、求转置矩阵、求逆矩阵、求伴随矩阵、求矩阵行列式值、求矩阵特征值、求矩阵多项式等。

计算结果如下图所示：

求积分变换

（1）拉普拉斯变换

例25. 求  的拉普拉斯变换

求解拉普拉斯变换需要用到laplace_transform函数。

解得  ：

（2）拉普拉斯逆变换

例26. 求  的拉普拉斯逆变换

求解拉普拉斯逆变换需要用到inverse_laplace_transform函数。

解得 f(t)=2sint ：

（3）傅里叶变换

傅里叶变换使用fourier_transform函数，其他部分与拉普拉斯变换一致，在此不再重复叙述。

（4）傅里叶逆变换

傅里叶逆变换使用inverse_fourier_transform函数，，其他部分与拉普拉斯逆变换一致，在此不再重复叙述。

学了代码，可以摸鱼吗？

为了检测学习效果如何，这里有几道题帮大家练练手：

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