很水的数学分析112：压缩映射原理

#练习生打卡

一、讨论限制在IRⁿ上等价度量的条件。

1.限制在IRⁿ上（或者扩展为有限维线性空间上）度量依然不一定等价，但有命题：有限维线性空间上的任一范数都等价，从而任一由范数诱导的度量等价。（从而有限维线性空间内的点列在任一由范数诱导的度量下判别是否是Cauchy列、判别敛散性结果都一样，所以可以默认用d₂度量）

①取一个基，就发现有限维线性空间跟IRⁿ在某方面实际上没有区别。

②证明：要证明范数等价，即α‖x‖≤ N(x) ≤β‖x‖，转化为α≤1/‖x‖N(x)≤β

，转化为证N(x/‖x‖)在闭集上的连续性

在闭集上的连续性。（恰好定义域就是闭集）

而由范数公理和Cauchy—Schwarz不等式能保证更强的Lipschitz连续。

2.推论：IR、IRⁿ任一闭子集在任何由范数诱导的度量下都是完备的。

二、压缩映射原理。

1.Lipschitz连续中令K∈[0,1)，即压缩映射。（一般f是某度量）

2.几何意义：画出“中心”随曲线移动的“喇叭”族，曲线能被覆盖。 Lipschitz连续中任意一点切线斜率是有限数即可，压缩映射要求斜率≤1。

3.压缩映射原理证明框架。

①证明存在性。为不断嵌套迭代，构造点列xn+1=φ(xn)，使得d(xn+1,xn)以Kⁿ速度递减，从而证明｛xn｝是Cauchy列，然后由X的完备性和φ的连续性知不动点存在。

②证明唯一性。假设另有不动点ξ'，可知0≤d(ξ,ξ')≤Kd(ξ,ξ')，矛盾。

4.从证明存在性的过程可看出空间的完备性至关重要。

5.例子：地图上的不动点。

寻找不动点（原地图和压缩地图重合的点）跟构造φ的思路相同。