函数（中）

2023-07-17 17:23 作者:24bs 0人读过 | 我要投稿

$%5Cexists%20x%5Cin%20%5B0%2C2%5D%5C%20s.t.%20(e-1)%5Cln%20a%5Cge%20ae%5E%7B1-x%7D%2Be(x-1)-x$ ，求 $a$ 取值范围。

$%5Ccdots%5CLeftrightarrow%20e(%5Cln%20a%2B1-x)%2B1%5Cge%20e%5E%7B%5Cln%20a%2B1-x%7D%2B%5Cln%20a%2B1-x$

令 $t%5Ctriangleq%20%5Cln%20a%2B1-x%5Cin%20%5B%5Cln%20a-1%2C%5Cln%20a%2B1%5D$ ，则 $et%2B1%5Cge%20e%5Et%2Bt$ 。研究 $f(t)%3De%5Et%2B(1-e)t$ 即可。

$a%5Cin%20%5B0%2C4%5D$ ， $f(x)%3D%5Cdfrac%7B4x-a%7D%7Bx%5E2%2B1%7D$ 。(1) 当 $x%3E0$ 时，证明： $f(x)%5Cle%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7Dx-a%2B2$ ；(2) 设 $x_1%2Cx_2%5Cin%20%5Cmathbb%20R$ ，若 $m%5Cin%20%5Cmathbb%20R$ 满足 $f(x_1)f(x_2)%3D-m%5E2$ ，证明： $f(m-a)-f(1)%3C%5Cdfrac18$

(1) 法一：直接移项后因式分解；法二：以 $a$ 为主元，然后因式分解

(2) 令 $t%5Ctriangleq%204x-a$ ，则 $f(x)%3D%5Cdfrac%7B16t%7D%7Bt%5E2%2B2at%2Ba%5E2%2B16%7D$ ，故 $f(x)%5Cin%20%5B%5Cdfrac%7B8%7D%7Ba-%5Csqrt%7Ba%5E2%2B16%7D%7D%2C%5Cdfrac%7B8%7D%7Ba%2B%5Csqrt%7Ba%5E2%2B16%7D%7D%5D$ 。故 $-m%5E2%5Cge%20f_%7B%5Cmin%7D%5Ccdot%20f_%7B%5Cmax%7D%3D-4$ ，即 $m%5Cin%20%5B-2%2C2%5D$ 。之后分 $m-a%5Cle%20(%5Ctext%7Bor%7D%20%3E)%5C%20%200$ 讨论即可。（其中需要使用 (1) 中结论）

偶函数 $f(x)$ 定义域为 $%5Cmathbb%20R$ ， $%5Cforall%20x%5Cin%20%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ ， $2f(x)%2Bxf'(x)%3E0$ 。判断以下结论正确性：

......

对于此类题目，参见 https://www.bilibili.com/video/BV1UA4y1f7TZ/

$a%2Cb%3E0$ ， $ae%5E%7Ba%2B1%7D%2Bb%3Cb%5Cln%20b$ ，证明： $b%3Ee%5E%7Ba%2B1%7D$

$%5Ccdots%5CLeftrightarrow%20e%5Ea%5Cln%20e%5Ea%3C%5Cdfrac%7Bb%7D%7Be%7D(%5Cln%20b-1)%3D%5Cdfrac%7Bb%7D%7Be%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Bb%7D%7Be%7D$ ，对 $f(x)%3Dx%5Cln%20x$ 进行简单分析即可。

$f(x)%3Dx%5E2-1$ 与 $g(x)%3Da%5Cln%20x-1$ 的图像存在公切线，求 $a%5Cin%20%5Cmathbb%20R_%2B$ 取值范围。

设公切线与两图像的切点分别为 $(x_1%2Cx_1%5E2-1)$ ， $(x_2%2Ca%5Cln%20x_2-1)$ 。 $f'(x)%3D2x$ ， $g'(x)%3D%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx%7D$ ，故公切线既为直线 $y%3D2x_1(x-x_1)%2Bx_1%5E2-1$ ，也为直线 $y%3D%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx_2%7D(x-x_2)%2Ba%5Cln%20x_2-1$ 。对比系数得 $2x_1%3D%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx_2%7D$ ， $-x_1%5E2-1%3D-a%2Ba%5Cln%20x_2-1$ ，故 $%5Cdfrac%7Ba%7D%7B4%7D%3Dx_2%5E2(1-%5Cln%20x_2)$ 。对 $h(x)%3Dx%5E2(1-%5Cln%20x)$ 进行简单分析即可。

$f(x)$ 定义域为 $%5Cmathbb%20R$ ， $f(x%2By)%2Bf(x-y)%3Df(x)f(y)$ ， $f(1)%3D1$ ，求 $%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7B22%7Df(k)$ 。

法一：注意到 $2%5Ccos(x%2By)%2B2%5Ccos(x-y)%3D2%5Ccos%20x%5Ccdot2%5Ccos%20y$ ，故可设 $f(x)%3D2%5Ccos%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%20x%7D3$ 。后略。
法二：令 $y%3D1$ 得 $f(x%2B1)%2Bf(x-1)%3Df(x)$ ，即 $f(x%2B2)-f(x%2B1)%3D-f(x)$ 。同理 $f(x%2B2)%3Df(x%2B3)%2Bf(x%2B1)$ ，故 $f(x%2B3)%3D-f(x)$ ，则 $f(x)$ 周期为 $6$ 。后略。

$f(x)%3D(1-x%5E2)(x%5E2%2Bax%2Bb)$ 的图像关于直线 $x%3D-2$ 对称，求 $f(x)$ 最大值。

利用必要性探路，通过代入来求出 $a%2Cb$ 。

$f(x)%2Cg(x)$ 定义域为 $%5Cmathbb%20R$ ， $f(x)%2Bg(2-x)%3D5$ ， $g(x)-f(x-4)%3D7$ 。若 $g(x)$ 图像关于直线 $x%3D2$ 对称， $g(2)%3D4$ ，求 $%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7B22%7Df(k)$ 。