人人都知道的欧拉公式

提示：文章内容谨代表个人观点

设一个多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则满足公式：V+F-E=2

这就是欧拉公式。

这个公式有趣的地方在于，为何最后的答案是个常数？还是2？为何不是1呢？

我们来探究一下。

我们从平面开始看起：

先设V+F-E=x

如果我们想画一个平面图形，比如三角形，首先要画一个点A，这时顶点数为1，没有线，没有面，所以x=1

然后我们再选定一个点B连接起来，此时顶点数为2，一条边，没有面，x=1

最后再选一个点C，连接AB、AC，此时顶点数为3，三条边，一个面，x=1

画其它几何图形时，如果一步一步的计算，发现永远是x=1

这是为什么呢？这是因为在画平面图形的时候，只有三种情况：

①创建一个点，这是画图的第一步，此时x=1，没有争论

②创造一个新的点，并与另外一个点连接（没有连接就凭空造点是耍流氓！），此时多一个点多一条边，可以看作V+1+F-（E+1），还是等于x，也就是一开始的1

③连接两个点，创造一个封闭空间，此时，边数+1，面数+1，可以看作V+（F+1）-（E+1），还是等于x，也就是一开始的1

所以所有的几何平面图形都满足这个条件

那么再研究三维图形就方便啦

如图，这是立方体的透视图，如果看成平面图形，很显然V+F-E=1，但因为透视的原因，还有一个面被我们忽视了，所以在三维的情况应该是V+F+1-E，所以x变成了2

另外，所有立体图形都满足这个条件，至于更严谨的证明，请移步百度或知乎

另外@李永乐老师 的视频里也有该证明的教学，大家可以去搜索一下，很有趣的。