高维微分学-教与学计划（第01-04学周）

2021-08-09 13:52 作者:复旦力学-谢锡麟 0人读过 | 我要投稿

本课程的一流化建设

本课程追求 一流水平：程度的一流化、成效的理想化，并且 立德树人（三观引导）。作者十年前就设计并持续性建设 微积分的一流化进程，既是 知识体系、也是 课程体系，如下图所示。

本课程对应的知识体系为 高维微积分，具有承上启下的作用。高维微积分直接为 微分流形上的微积分、测度论与泛函分析 的研习提供了基础。值得指出，高维微分学不仅知识体系架构而且分析与结论，都高度一致于 赋范线性空间上的微分学，故学习上可以温故而知新。

程度的一流化 指 课程的广度与深度可类别国内外代表性教程与参考的程度。本课程面向非数学类专业，故对微积分的相关内容有所取舍，一方面为后续数理课程铺垫足够的基础；一方面注重 正本清源、格物致知，注重基于微积分认识世界。总体上而言，本课程对应的高维微分学、高维积分学，在程度上可以类比 Zorich著《Mathematical Analysis》，汲取了其诸多思想与方法。本课程主要思想与方法的阐述都借鉴了Zorich的教程，受益匪浅也略有修改。当然，本课程也参考了其它国内外代表性教程与参考，汲取优秀的做法。

值得指出，Zorich的教程涉略广泛，有关内容通过 微积分一流化进程的相关课程 进行阐述；目前，相关课程的广度与深度已经达到 Zorich教程的程度。

数理研习的一种理念与方法

大学学习需要注重理解与掌握知识体系的内在思想与方法，注重将知识升华为能力。数理研习/教与学的主要矛盾为理解与掌握难以理解与掌握的思想与方法。就此，本质性地需要进行知识体系自身的研究，基于多年教与学的经验，笔者概括有：内容方法化、做法思想化、学习通识化， 概述如下。

内容方法化 不应该学习就是为了考试、考试就是为了考试、考完基本忘记，而是应该将知识转化为认识世界的能力。就此我们建议将知识/内容转化为方法。所谓方法，指可以系统性解决一类问题的思路与做法，方法对于问题的处理具有较为清晰的程序化流程。获得方法的基础在于对同类问题的本质的认识，我们将本质称为结构。由于相同的结构可以驱动不同的结论，所以提炼可处理一类问题的方法也在于认识由结构驱动结论的具体方式。基于方法，可以将知识升华为能力，表现为对所需研究的事物首先抽象为微积分等知识体系的研究对象，然后利用对应的方法研究对应的性质，以期获得对所研究的事物的认识。

做法思想化 基于知识的方法化，可以进一步提炼方法的“驱动力”——思想。简化、近似、转换、变换、估计、降维、建立联系、因果分解等，我们耳熟能详的认知世界的思想都在微积分中有着清晰而鲜明的表现。值得指出，在认识过程中相关思想驱动方法的提炼与发展，而对方法的深入研究又可能催生新的思想，由此在学习过程中应该是方法化与思想化互为促进的进程。

学习通识化 我们将一门课程涉及的系统性思想与方法，称为知识体系。对于一门知识体系，可以通过知识点分解知识体系，知识点为具有一定独立性的知识(思想与方法) 的集合。每一知识点再由若干知识要素组成，知识要素可为特定的数学等式、不等式或者特定的处理思想与方法, 亦称为数学结构。值得指出，隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可能包含相同的知识要素，称为数学通识。此外，知识体系之间亦可能存在相似结构，如一元微分学、高维微分学、赋范线性空间上微分学具有高度相似的知识点构成，均包括：点列极限、映照极限、映照可微性、无限小增量公式、有限增量公式、逆映照定理与隐映照定理，主要结论的分析思想与方法也具有高度的统一性。既然，数学通识/相似结构为隶属同一知识体系或不同知识体系的知识点所包含的相同的知识要素，可以基于数学通识/相似结构实现同一知识体系之内的融会贯通、不同知识体系之间的触类旁通，以此获得了一种高成效的教与学的途径。值得指出，数学通识亦可服务于不同课程之间的衔接。在我们的教学中注重突出数学通识，表现为由结构驱动结论的知识体系发展方式，以此追求温故而知新的成效。

对于本课程的学习，可以从微积分知识体系的内容方法化、做法思想化、学习通识化这三个方面吸收知识、积累认识，最终获得这三个方面的系统性的提炼。

对于理工科课程，可以将辩证唯物主义的基本观点与方法融入整个教与学的过程 —— 引领与具体指导建设一流课程：程度的一流化、成效的理想化，并且 立德树人（三观引导）。作为基本观点的 质量互变规律（不懂到懂、不会到会的学习元素）、对立统一规律（抓住事物的本质）、否定之否定规律（认识的螺旋式上升）；作为辩证思维的 归纳与演绎（学习通识化）、分析与综合（复杂过程的要义分解、内容的方法化）、抽象与具体（做法思想化）在整个教与学中有着鲜明与具体的指导与实践，这不仅提升了教与学的质量，而且学生通过课程也体会并实践了辩证唯物主义的作为，将其作为世界观的主导。

递进性教与学与教与学资源

自 2023年春季学期 开始，高维微积分（对应复旦大学的 数学分析BⅡ 课程）的教与学，采用 混合教学 的形式，主要分为 线上学习 与 线下研讨 两个 主要环节；辅导与研讨、习题课 两个 辅助环节：

（1）主要环节 线上学习 利用 复旦腾讯会议，主要基于 电子板书（知识图示化）进行基本内容的学习。—— 按课程表，线上学习安排在周一晚上。

（2）主要环节 线下研讨 主要基于 实体板书 进行基本思想与方法的概述；要点与难点的澄清；习题讨论；答疑解惑。—— 按课程表，线下研讨有两种时间选择：一种周一下午 1-2节、周三上午3-5节；另一种周五下午 1-5节。

（3）辅助环节 辅导与研讨，一般在周二下午在任课教师办公室进行自由报名参加的辅导与研讨（无任何限制、无学分）。主要为现场演练习题、讨论等。

（4）辅助环节 习题课，一般隔周周末晚上进行，3小时，利用复旦腾讯会议，主要基于电子板书进行讲述。

—— 本课程教与学的上述两个主要环节与两个辅助环节都提供分屏录屏或者基于摄像机信号的直播录屏，一般结束2小时后就可以观看视频。

平时练习 课程将采用 书面习题册 的形式，为每位修读的同学提供书面的《高维微积分-习题册》，A3纸活页装订。每周助教与任课教师都会批阅习题册，并作记录。一般而言，一份作业文件的基础性习题，在两周内完成。

考核方式 本课程采用 过程性评估，进行：（1）高维微分学、高维积分学、级数三次 阶段性考试（取二次最好的成绩，平均后折合成总评的 50%）；一般在周日晚上进行。（2）每次阶段性考试的前一周，进行对应的测验，测验不计分，参加 2 次，就得到总分的 5%，未参加 2 次则不得分；一般在周日晚上进行。（3）作业文件，基本完成，得到总分的 5%；未基本完成不得分。（4）期末考试，占总分的40%。

教与学的计划（周计划）高维微分学部分

本课程按 知识体系的建立过程 安排 教与学进度，以周为单元；当可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。

注：高维积分学、级数部分的教与学计划另有专栏文章进行说明。

第一部分高维微分学

§ 01 第01周

§ 01-online 线上学习内容

（1）向量值映照的背景 ① 有限维Euclid空间（Cartesian空间），按等价性观点（一一对应）理解公理化定义（包括定义加法及数乘，使其成为线性空间）、几何化（引入典则基，Cartesian坐标，加法的平行四边形法则等）。② 向量值映照的实际背景，从具体研究过程中提取。值得指出，一元函数是一元微积分的主要研究对象，而向量值映照是高维微积分的主要研究对象。③对比一元函数极限研究，引出Euclid空间中距离的概念，进而定义作为线性空间的Euclid空间的范数。基于距离，可定义球形邻域。④ 定义点列收敛，类比于数值上序列的分析性质，研究点列极限的分析性质。

（2）向量值映照的极限 ① 基于球形邻域，可完全类比与一元函数情形，定义向量值映照的极限，包括Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性结论，向量值映照极限的Cauchy收敛原理。连续性作为特殊的映照极限加以研究。② 向量值映照极限的分析性质，包括复合向量值映照极限定理，强调非接触性条件。③ 向量值映照极限等价于其各分量的极限（本性质由Euclid空间中距离性质决定），籍此基于多元函数极限的四则运算以及复合向量值映照极限定理获得多元函数极限计算的充分性方法。④ 多元函数极限的路径分析方法，主要用于说明极限的不存在性。

§ 01-offline线下讲授与讨论内容

（1）向量值映照/多元函数极限的计算方法 ① 向量值映照的极限定义。 ② 正向说明多元函数极限存在的估计方法，主要联系于基本不等式。③ 基于路径分析方法说明极限不存在。

§ 01-教学视频

线上学习：高维微分学向量值映照的极限

线下研讨：高维微分学向量值映照的极限-概述与讨论

§ 01-习题文件

§ 01-知识图示化

§02 第02周

§ 02-online线上学习内容

（1）向量值映照的可微性 ① 向量值映照的可微性定义。可微性为映照的局部行为，其实质为基于线性映照来“逼近”因自变量变化而引起的因变量的变化，误差为因变量变化的一阶无穷小量。由此，首先需要澄清不同维数Euclid空间之间线性映照的定义及其表示形式（引入线性映照矩阵）；然后分析的可微性定义的表示，引入作为线性映照矩阵的Jacobi矩阵，该矩阵的分量则为向量值映照各分量相对于自变量各分量的偏导数；上述整个过程对于理解可微性定义至关重要。② 向量值映照的方向导数，通过极限定义；当可微时，则对所有的方向导数存在；沿Cartesian坐标轴的方向导数定义为向量值映照对自变量各分量的偏导数，由此Jacobi阵的每一列可理解为向量值映照的各个偏导数，此概念直接服务于今后引入曲线坐标系（微分同胚）所诱导的局部基。③多元函数的高阶偏导数。多元函数高阶偏导数的定义基于低一阶多元偏导函数之有关坐标轴的方向导数。本课程不拟引入向量值映照的“高阶导数”，因为这需要引入抽象空间之间的线性映照。

（2）导数计算的充分性方法 ① 复合向量值映照的可微性定理。分析过程基于复合向量值映照的极限定理，注意有关非接触性条件的处理。② 复合向量值映照可微性定理直接提供了复合映照导数的链式求导法则，要求掌握向量值映照复合向量值映照的一般情形，基于分块矩阵运算，亦即矩阵形式的链式求导法则。这种形式对于今后处理由隐映照定理决定的隐映照之导数运算十分重要。③向量值映照导数的几何应用。（ⅰ）我们将m维Euclid空间中的曲线认识为单参数向量值映照，其Jacobi阵为列向量，即为曲线在当地的切向量；按可微性定义认识曲线当地切线的意义。（ⅱ）曲面认识为参数为m-1维的向量值映照，其Jacobi阵如为列满秩，则其各个列向量（值域空间中各坐标曲线切向量）构成当地m-1维切空间；说明曲面上曲线的切向量一定位于切空间之中；按线性代数中齐次线性方程组有关结论获得法向量的确定方法。

（3） 导数计算的极限方法 对于平面上分片定义的多元函数，在分片的边界上连续性、可微性、二阶及高阶导数的计算一般需要按极限定义进行极限分析获得。

§ 02-offline线下讲授与讨论内容

（1）向量值映照/多元函数导数的计算方法 ① 向量值映照的可微性定义，获得Jacobi矩阵包括充分性方法与极限分析方法。② 导数计算的充分性方法，包括多元函数偏导数计算的四则运算；复合向量值映照的可微性定理，矩阵形式的链式求导。③导数计算的极限分析方法。

§ 02-教学视频

线上学习 高维微分学向量值映照的可微性

高维微分学向量值映照导数的计算方法

§ 02-习题文件

§ 02-知识图示化

§03 第03周

§03-online 线上学习内容

（1）基于直线单参数化的有限增量公式或估计 ① 直线单参数化的基本思想。② 多元函数在直线段上的Lagrange中值定理；向量值映照在直线段上的有限增量估计。2. 基于直线单参数化的相关分析结论 ① 多元函数可微性的一个充分性条件。② 多元函数混合偏导数可交换次序的两个充分性条件。

§03-offline线下讲授与讨论内容

（2）基于直线段上多元函数的Lagrange中值定理的相关分析结论 ① 基于直线单参数化获得直线段上多元函数的Lagrange中值定理。② 获得多元函数可微性的一个充分性条件。③ 获得多元函数混合偏导数可交换次序的两个充分性条件。

§03-教学视频

线上学习高维微分学直线单参数化与其应用

§ 03-习题文件

无

§ 03-知识图示化

§04 第04周

§04-online 线上学习内容

（1）隐映照定理的分析 ① 基于直线单参数化获得直线段上向量值映照的有限增量估计，回顾直线段上多元函数的Lagrange中值定理。② 有限维Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理（不动点定理）。③基于压缩映照定理，构造性地证明隐映照定理

（2）隐映照定理的应用——曲线与曲面的隐式表示 ① m维Euclid空间中1维曲面的隐式表示，并曲线的切向量、切线。② m+1维Euclid空间中m维曲面的隐式表示，并确定曲面的坐标线的切向量、切空间、法向量。③ m维Euclid空间中k维曲面的隐式表示，实际给出了k维曲面的局部Monge型表示的存在性，亦即m维Euclid空间中一个点的m个Cartesian坐标中的k个决定其它m-k个，并确定k维曲面相对于自变量各分量的变化率，亦即确定曲面向量值映照的Jacobi矩阵。

§04-offline 线下讲授与讨论内容

（1）证明隐映照定理

（2）隐式表示的曲线与曲面的分析方法 ① 隐映照定理，分析要义包括：（ⅰ）直线段上向量值映照的有限增量估计；（ⅱ）压缩映照定理。② 隐映照定理的几何解释，即为m维Euclid空间中k维曲面的局部Monge型表示。③ 基于矩阵形式链式求导，可以获得Monge曲面关于自变量各个分量的变化率，亦即确定曲面映照额Jacobi矩阵。④ m维Euclid空间中k维曲面的两个特殊事例：（ⅰ）m维Euclid空间中1维曲面，亦即曲线；（ⅱ）m+1维Euclid空间中m维曲面。

§04-教学视频

线上学习高维微分学隐映照定理的分析