关于函数导数和连续性的一个比较不自然的定理，达布定理

定理内容：若函数f(x)在[a,b]上可导，则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值。 

或者：设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且[a,b]包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η

简而言之，定理的内容就是说如果原函数f(x)在闭区间[a,b]内可导，那么f′(x)在[a,b]区间内具有界值性，这件事确实是不那么自然的一件事，因为我们知道，开区间连续的函数具有界值性，那么是否是说f′(x)在[a,b]区间内具有界值性就说明f′(x)是开区间连续的呢？显然没有定理告诉我们说f(x)在[a,b]上可导就能推出f′(x)连续的，显然连续只是界值性的一个必要条件。下面来证明这个定理，若函数f(x)在[a,b]上可导，则f′(x)在[a,b]上具有界值性：

，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。

由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。

又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。

所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η

法二：g(x)=f(x)-rx
在[a,b]连续
由闭区间连续函数存在最大最小值
则存在c∈[a,b]有g(c)是最值

再证c不等于a或b同法一：

不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性、

，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)

所以a，b一定不是最小值，

由费马定理

g'(c)=0
即
f'(c)=r且c∈(a,b)

显然法二看起来更加常用，且好理解一些，做辅助函数后，利用闭区间的连续函数的有界性，必有最大最小值，根据费马定理就有导数等于0。