【高中数学】导数必会技巧合集！！！

以下内容为多方结合整理以及个人总结，未完待续。

其中的技巧大多数都是能直接有助于拿分的！

个人感觉非常有用，其中还有一些其他同学经常错或不懂的点~

希望能对你有所帮助~~

1.导数化简技巧

非常重要的关于导数化简的小技巧！！！

就记住：

1°碰到eX，就让eX尽量与变量x相匹配，比如xeX，x/eX都可以，因为eX导出来还是eX，而且恒大于零，对分类讨论没有任何限制条件。

2°碰到lnx，一定要把lnx单独分出来放到一边！

因为lnx单独分开时，它的导数就是1/x，非常简单，也很好分析。但如果要是和别的量放在一起，那就会复杂许多！！！因为和别的量放在一起（常数不算），导完以后还是会有lnx，还要再导！！

比如f（x）=lnx/x，这个时候要是直接导，那就会出现（1-lnx）/x²，然后要是进一步计算就要单拎出lnx二阶导。

但这时令一个新的函数g(x)=f(x)/x=lnx，那么g(x)的导数就是1/x，就不需要二阶导了。（注意，这里x的定义域是＞0，所以直接除去x可以，其他情况还是要考虑一下正负的。）

主要就是通过乘除x之类的量，使得lnx单独出来，方便运算与讨论。

2.参数分离

视频来源：BV147411K7xu

①对于没有学过的函数，可以尝试去猜根（试根）

有的时候因式分解会直接帮助得出根。

②考试不要用“↑”、“↓”箭头来表示单调递增或递减，要完全写出来。

③大致画个图确认单调性，直接判断。

（讨论单调性，严谨一点是不能直接画图解释单调性的，因为图像不作为解题依据！！）

④压轴题中导函数求零点时，大多要进行因式分解，因式分解一般会有一点点难度，要了解一部分基础的凑配方式，比如提出一个x分给另外一个式子，还有加减常数凑配，或者提出系数凑配之类的。

关于猜根的一点补充：

猜根也不是瞎猜，基本上就是猜0,1,2，-1，e这类数字，一般来说也不是很难猜。

猜根还要注意定义域的限制，比如说猜了一个“-1”，结果原函数是lnX，也就是定义域大于0，那么这个根“-1”就直接作废。

所以猜根之前，一定要先看定义域，有的时候定义域就可以直接筛选掉不存在的根，缩小猜根的范围，也就更好去猜。

3.隐零点（虚设零点）

隐零点的相关解法

首先介绍一下零点存在性定理。

零点存在性定理：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）*f（b）＜0。

那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b)，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

对于函数 y=f(x) ，使f（x）=0 的实数x叫做函数y=f（x）的零点，即零点不是点。

（零点是y=0时，x=？中“？”的值！）

这样，函数y=f（x）的零点就是方程 f（x）=0 的实数根，也就是函数y=f（x）的图象与 x 轴的交点的横坐标。

但在导数中，用这个定理一定要先判单调性！！！一定要！！！

有的人可能会问为什么，在此用一组概念辨析来解释一下：

请判断下面两个命题哪个是正确的：

①若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内有零点。

②若y=f(x)在在区间[a,b]上连续不断且(a,b)内有零点，则必有f(a)·f(b)<0

↓↓↓

①一定是对的，这就是定义。

但②就错了，虽然只是把①反过来说，但这很明显是错的，比如说x²，有一个零点，但当x取-1,1时，1*1大于零，不满足②

这时怎么说才对呢？这就引出了导数中判零点要用到的零点唯一性定理

零点唯一性定理：

若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断，端点值满足f(a)·f(b)<0,且函数在(a,b)上单调，则y=f(x)在(a,b)内有零点。

反过来说也对

这就是说，如果要判零点，必须带上单调性，使用零点唯一性定理，所算出来的才一定是正确的！

切记单调！！！

现在来讲讲隐零点的出现情况：

一般都是在证明不等式中出现，比如某函数恒大于零。

首先对一个函数进行求导，讨论单调性等情况。

当导函数比较复杂，出现了类似于xlnx，xex此类的项时，将这些复杂的项单拎出来进行二次求导。

二次求导找零点判单调性。

这时发现当二阶导g(x)=0时，x解不出来（高中范畴内解不出来，其实都可以解）

这个时候就要虚设零点

意思就是g(x)=0，这个x是解不出来的，那就令x=x0，这个x0就代表g(x)=0的解。

但是要讨论单调性，必须还要知道这个零点的位置在哪，但这个位置算不出来，所以这个时候就要尝试对单拎出来的这一项函数进行赋值，来确定x0的大致范围。

赋值：就是取值往原函数里代，进行计算进一步估算零点。

通过各种定义域，大小关系，去限制隐零点所在区间，最后限定在一个大致的区间范围内即可。

比如在有log或者ln的式子中，定义域x＞0，则隐零点的取值范围只能在（0，+∞）之内。

当然这个范围还是很大，只是在此举个例子讲一下怎么利用各种关系去约束取值范围从而得到最小的大致范围。往往题目所要利用的就是用这种“逼近”方法所能取到的最小范围。

比如现已确定零点的范围是（0,1），假定函数单增

那么要进一步逼近零点，就可以采用赋值的方法。

比如赋值x=1/2代入原函数（注意是原函数，不是导函数），如果得到的f(1/2)＞0，又因为函数单增，则零点的范围缩小到（0,1/2）中

若f(1/2)＜0，则零点的范围缩小到（1/2，1）中。

但一般在隐零点问题中代入的值一般是正整数1,2,3,4等等，很少有分数，虽然说这样赋值所限定的范围还是不那么精确，但大多数题目就足够用了。

然后知道了x0的大致范围（就当做x0的定义域），再把x0直接当做一个常数带回到g(x)=0，代换得到关系。

再将此关系代回到原函数f(x)，对此时的函数f(x0)化简并运用关系即可证明不等式

大多数这类题目的思路就是这样的。

4.超越函数（六大母函数）

第二个：超越函数（重点）

超越函数就是类似于上面xe的x次方的这种函数，靠一般方法解不出零点的（就是隐零点），这一类称为超越函数，也有的称之为6大母函数。

这类超越函数最有用的是它们的图像走向，极值点零点等关键信息，这些信息常被用来直接或间接地出在题目里，而用在小题中时，你还要花时间去导，去看单调性，极值点等等。

但有了图像，就可以直接立判，省去时间，甚至直接出结果。

以下是导函数的六种图像，截图来源于超越函数讲解课程。

有的时候题目不会直接给出这六大母函数，但是只要出现xlnx，xex之类的项，就可以考虑往超越函数上想，然后通过同除掉x，或者将x从左移到右边等等代换方法就可以把题目化简为交点问题或是其他类型的问题，这个时候有的可以根据图像特征直接出结果，有的可能还要用到切线放缩等地方的知识。

但相比于基础方法来说还是要更快的。

5.必要性探路

例题来源于BV147411K7xu的p207

主要是对例二进行补充来讲这个必要性探路。

关于例题二有一点点补充，那就是必要性探路

必要性探路，就是在题目给的范围内赋值去试，从而减少讨论次数，化简过程。

以例题二为例，简要的讲一下。

∵X∈[0，π]，f(x)≥0恒成立

∴令x=0代入得f(x)=-(1+a)

∵f(x)≥0恒成立

∴可得a≤-1

于是就把a限制在了a≤-1的范围内

神奇的一幕出现了！

因为a≤-1，所以一数讨论的情况一，情况二，情况三，通通直接无解！！！就等于说你不用算了，直接讨论最后一种即可！

而且，大题可以直接用哦~~~~

注意点：

必要性探路，所赋的值必须在定义域以内，而且要用题目给的大小关系来约束！！

如果要使用必要性探路，一定要一上来就写，而不是放在最后写！！

而且，赋值的出来的大小范围就可以直接用了~

必要性探路，一般来说可以化简90%以上的题目，省去不必要的分类讨论！而且你可能会犹豫到底是写还是不写，在此给个建议，如果题目太简单，直接分类做就是了，如果给的是复杂函数求范围，那就先用上，就算题目属于那10%没用的，也耽误不了几分钟。

其余内容有待补充~~暂时还没有时间，准备补充：函数的凹凸性，泰勒展开等高阶内容以及导数逆构造、同构等内容~~