第一章 数制和码制

1.1 概述

数制：多位数码中每一位的构成方法和从低位到高位的进位规则称为数制。

码制：为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。

1.2 几种常用的数制

十进制(D)、二进制(B)、八进制(O)、十六进制(H)...

1.3 不同数制间的转换

(1) 二 - 十六转换与二 - 八转换

二 - 十六转换：由于4位二进制数恰好有16个状态，而把这4位二进制数看作一个整体时，它的进位输出又恰好是逢十六进一，所以只要从低位到高位将整数部分每4位二进制数分为一组，同时从高位到低位将小数部分的每4位数分为一组，并将每一组代换为等值的十六进制数即可得到对应的十六进制数。

注意：分组位数不够时需补零，整数前补，小数后补（实际上是保证值不变）

    例如：（1100011 . 11）可以先补零为（0110 0011 . 1100）

二 - 八转换与二 - 十六转换同理，只需改为 “将3位二进制数” 分为一组即可。

(2) 十六 - 二转换和八 - 二转换

十六 - 二转换实际上是二 - 十六转换的逆过程，只需要将每位十六进制数代换成等值的4位二进制数即可，相对简单。

八 - 二转换同理，将每位八进制数代换成等值的3位二进制数即可。

(3) 二 - 十转换、八 - 十转换、 十六 - 十进制转换

这三种转换都是其他数制向十进制数的转换，只需要根据1.2所示展开式计算即可。

(4) 十 - 二转换、 十 - 八转换、 十 - 十六转换

在(1)中，已经掌握了二进制向八进制和十六进制的转换方式，所以这三种转换实际上只需要学会十 - 二转换即可，如果需要实现十 - 十六转换，可以考虑十 - 二 - 十六的转换过程。

十 - 二转换可以分为整数部分的转换和小数部分的转换两个步骤：

①整数部分的转换：

这里介绍定位减权法，这是个人认为十 - 二转换许多方法中最基本也最容易上手的方法。

“ 以173为例，比173小且与其最近的是128，则128对应位上取1，173 - 128 = 45，比128小一位的是64，45 < 64，则64对应位上取0，比64小一位的是32，45 > 32，则32对应位上取1，45 - 32 = 13，比32小一位的是16，13 < 16，则16对应位上取0... 可以得出十进制数173所对应的二进制数为10101101。”

上述过程实际上是把173分成128 + 32 + 8 + 4 + 1，初次接触这个思路可能会觉得不如除基取余法方便，但在我自己学习的过程中，我发现了定位减权法的优点，他是从高位往低位出结果的、便于对结果进行记录，而且在经常接触二进制数的情况下，二进制位权对应值实际上是很清晰的不需要刻意去记忆的。

当然，除基取余法也是一个不错的方法，思维方式因人而异，适合自己的方法才是最好的。

②小数部分的转换

乘基取整法：即用二进制数的基数2去乘十进制小数，第一次所得的整数为小数部分的最高位，把得到的数的小数部分再乘以该基数，所得的整数为次低位，依次类推，直至小数为0，所得的整数为目的数的最低位。

1.4 二进制算术运算

1.4.1 二进制算术运算的特点

结论：如果我们能设法将减法操作转化为某种形式的加法操作，那么加、减、乘、除运算就全部可以用 “移位” 和 “相加” 两种操作实现了。

1.4.2 反码、补码和补码运算

原码：在二进制数的前面增加一位符号位，符号位为0表示这个数是正数，符号位为1表示这个数是负数。这种形式的数称为原码。

反码：

补码：

总结：

对正数而言，原码 = 反码 = 补码

对负数而言，原码的符号位不变、其他位取反，得到反码；末位再加1，得到补码。

计算方式：两个原码的计算，可以转化为对应补码的计算，最后再将结果（补码计算的结果也是补码）逆转换为对于的原码即可。即 “变换 - 计算 - 反变换” 的过程。

1.5 几种常用的码制

一、 十进制代码

①8421码：又称BCD码，是十进制代码中最常用的一种。4位依次所对应的权与二进制相同。

②恒权代码：每一位的权是固定不变的代码。

③余3码：可以看作是 “8421” + 0011 的结果，优点是：用余3码做十进制加法运算时，若两数之和为10，正好等于二进制数的16，于是便从高位自动产生进位信号。

④余3循环码：从格雷码（下文会讲到）的第四位（0010）开始，是一种变权码。主要特点是相邻的两个代码之间仅有一位的状态不同。

二、格雷码（又称循环码）

小tips：4位典型格雷码的顺序记忆方式（需要借助卡诺图，后续会提及）

画出4位变量卡诺图，典型格雷码顺序如下所示：

三、美国信息交换标准代码（ASCII码）