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根据牛顿万有引力定律，行星绕行过程中的受到来自恒星的引力为
,
又根据牛顿第二定律：
,
得到加速度与万有引力之间的关系：
．
选用极坐标，恒星所在位置为极点，恒星到行星的距离为极径．行星的坐标就可以表示为)
，满足：
，
所以从恒星位置出发，指向行星位置的位置向量就可以表示为
，
值得注意的是
和
都是关于
的函数．
的单位向量可以写成
．
对时间的一阶导数就是行星的速度向量，二阶导数就是加速度向量，所以有
．
把这个加速度代回上面万有引力的那个方程：
．
两向量相等当且仅当各个分量分别相等，所以有
．
经过一些简单的消元（主要利用
），可以得到
．
第二定律：行星在绕行恒星过程中，单位时间内与恒星连线扫过的面积为定值．
考虑绕行过程中行星的角动量为
，因为，角动量关于时间的导数就是
%20%3Dmr%5Cleft(%202%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%3D0)
．
导数值恒为０，说明角动量不随时间变化（也可以通过作用在行星上的力矩为０来思考，角动量关于时间的导数就是力矩，引力所在直线经过恒星的位置，也就是力臂为０）．在很短的一段时间
内，连线扫过的面积
可以看成一个顶角为
，两腰长为的等腰三角形（也可以看成一个扇形，跳过等价无穷小代换直接得到下面的方程）．根据三角形的面积公式
，
当很小时，
，这里的就是一个很小的角度，所以
．
两边同时除以就可以得到面积关于时间的导数了：
．
根据上面的角动量表达式，
，因为
为定值，所以
为一定值，即扫过的面积关于时间的变化率是常数．经过简单的积分计算就可以得到
，
当
为定值时
显然为定值，即单位时间内连线扫过面积为定值，符合开普勒第二定律．
第一定律：行星绕恒星运动的轨迹为椭圆．
要找到行星运动的极坐标方程，其实就是要找到极径与辐角的关系．证明第二定律用到的都是关于的导数，所以就需要找出关于求导与关于求导之间的关系．借助莱布尼茨的记号，很容易就可以得到
，
所以关于的导数为
．
将这个关系代入，可以得到
%20%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D)
．
再次根据第二定律中得到的角动量，，可以得到
．上式中的
就可以被换掉，这样就得到了一个只含有和的微分方程：
%20%3D-GM)
．
解这个微分方程就可以得到极坐标方程了．比较便捷的方法是换元，令
，可以得到
，将其代入上面的微分方程得到一个关于
的新微分方程：
．
令
，其中
是一个满足此方程的常数，所以有
．
方程转化为
．
显然就是正余弦的线性组合了：
)
．
所以
)
，
其中
，为一常数，这个常数需要由
决定，满足
．
因为，所以
%20%5Cright)%20%5E%7B-1%7D)
．
参考圆锥曲线的极坐标方程：
（
是半通径的长度，以其中一焦点为极点），形式完全一致，故行星绕恒星的运动轨迹为一圆锥曲线，恒星落于该圆锥曲线的其中一个焦点上，其离心率)
， 半通径长为
．会使该圆锥曲线的长轴（椭圆）或对称轴（抛物线）或实轴（双曲线）偏离极轴．由于当)
时，曲线为抛物线或双曲线，行星在这种情况下并不会绕行恒星，而是会在偏转一定的角度之后直接逃逸，所以一般只讨论)
的情况，此情况下的绕行曲线为椭圆（圆即为两焦点重合的椭圆），符合开普勒第一定律．
第三定律：椭圆轨道半长轴的三次方与绕行周期的二次方的比值为定值．
根据第二定律，，若选定某点作为起始点，此时连线扫过的面积为0，则当行星绕行一周后，扫过的面积就应该为整个椭圆的面积
（圆即为满足
的椭圆），所以绕行周期应该为
．
根据第一定律得出的半通径长为，而根据一些基本的圆锥曲线知识，半通径长也可以写成
或者)
，椭圆的半长轴和半短轴就分别为
%7D)
．
将这两个代回上面的周期，就可以得到
%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7BGM%7D%7D)
．
进一步化简得
%20%5E2%7D)
，
所以有
．
当被绕行的恒星不发生变化，即
为定值时，
为定值，符合开普勒第三定律．
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