【高等数学第16讲】柯西中值定理与洛必达法则

第十六章 中值定理（4）——柯西中值定理和洛必达法则

一、知识点

1. 柯西中值定理：
   

   01:38

   
2. 内容：
3. 条件：若函数f(x),g(x): ①在[a,b]连续 ②在(a,b)可导 ③g'(x)在(a,b)内不为0
4. 结论：则存在ξ属于(a,b)，使得[f(b)-f(a)] / [g(b)-g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ)
5. 注解：
6. 不能理解为使用两次拉格朗日
   

   04:56

   
7. 为什么需要g'(x)不等于0？：
   

   14:04

   
8. 使g'(ξ)不等于0
9. 使g(b)-g(a)不等于0，否则就会存在一点 C属于(a,b)，使g'(C)=0，矛盾。
10. 从参数方程角度解释柯西中值定理：
    

    15:25

    
11. 柯西中值定理的常见用法：
12. 常见用法1：
    

    21:08

    
13. ξ与参数并存，且参数可分离
14. 常见用法2：
    

    33:08

    
15. 双中值，其中一个中值多次出现（主要矛盾）->将该中值集中起来
16. 记混淆的概念：
17. 牛顿-莱布尼兹公式：（见图1）
18. 积分中值定理：（见图2）
19. 柯西中值定理的一个具体应用——洛必达法则：
    

    01:18:38

    
20. 内容：
    

    01:24:29

    
    （a也可以替换成∞）
21. 条件：①x->a时, f(x)->0, g(x)->0 或 f(x)->∞, g(x)->∞ ②在a的去心邻域内, f'(x), g'(x)存在且g'(x)不等于0 ③lim[f'(x)/g'(x)] = A (或∞)
22. 结论：lim[f(x)/g(x)] = A (或∞)
23. 注解：
24. 洛必达法则条件较为苛刻：
    

    01:35:11

    
25. 0/0，无穷/无穷，或能转化成0/0，无穷/无穷的极限
26. 7种未定式
27. 在a的去心邻域内f'(x), g'(x)存在=>说明f(x), g(x)连续：
    

    01:40:47

    
28. 不能用洛必达的一个经典例子：
    

    01:41:30

    
29. 洛必达法则是后验的：
    

    01:46:01

    
30. 化简先行，打组合拳：
    

    01:53:53

    
31. 等价代换、非零定式因子、有理化、因式分解...
32. 1^∞型极限三部曲：
    

    02:14:18

    
33. 第一步：[1+f(x)]^g(x)，其中，f->0，g->∞
34. 第二步：求lim f·g = A
35. 第三步：原式= e^A
36. 无穷大比较：
37. 函数极限：
    

    02:31:58

    
    （见图3）
38. 数列极限：
    

    02:34:49

    
    （见图4）

图1：牛顿-莱布尼兹公式

图2：积分中值定理

图3：无穷大比较——函数

图4：无穷大比较——数列

二、证明

1. 证明柯西中值定理：
   

   08:21

   
   （构造函数这一步多体会体会）
2. 使用常见用法1证明的题：
   

   22:58

   
3. 使用常见用法2证明的题：
   

   34:41

   
   （多听几遍）
4. 按两个中值来做的方法、按三个中值来做的方法
5. 使用常见用法2证明的题：
   

   48:38

   
6. 使用常见用法2证明的题：
   

   54:52

   
7. 使用常见用法2证明的题(稍微综合了一点)：
   

   01:01:26

   
8. 证明洛必达法则：
   

   01:28:31

   

三、计算

1. 极限计算：
   

   02:13:20

   
2. 1^∞型极限三部曲
3. 当x->+∞时，求(x·tan(1/x)-1)·x^2
4. 极限计算：
   

   02:23:57

   
5. 为什么把α放在实数域里也成立？
   

   02:26:59

   
6. 根据无穷大比较结论口算极限：
   

   02:32:18

   
7. 已知函数极限求参数：
   

   02:41:52

   
8. 无穷小量分出法。
   

   02:44:60

   
9. 经典运用洛必达法则的错误：
   

   02:50:51