2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（7）

2023-06-16 00:27 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：伊芙加登·薇尔莉特（《紫罗兰永恒花园》）

22. 在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $%5Cleft(0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ .

（1）求 $W$ 的方程；

（2）已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3%5Csqrt%7B3%7D$ .

答案（1） $y%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ ；

（2）见解析.

解析本题考察轨迹方程，抛物线的定义、方程及性质，同时考察数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养，属于难题.

（1）解法一：设 $P%5Cleft(x_0%2Cy_0%5Cright)$ .

$%5Cvert%20y_0%20%5Cvert%3D%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B%5Cleft(y_0-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%7D%20%5CLeftrightarrow%20y_0%3Dx_0%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ .

所以 $W%3Ay%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ .

解法二：点 $P$ 构成的轨迹是以直线 $y%3D0$ 为准线， $%5Cleft(0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)$ 为焦点的抛物线，因此其：

（i）中心为 $%5Cleft(0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)$ ;

（ii）准焦距 $p%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ；

（iii）开口向上.

所以 $W%3Ay%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ .

（2）不妨设 $A%5Cleft(a%2Ca%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)$ 为该矩形在抛物线上的直角顶点，且 $B$ ， $D$ 也在该抛物线上，则直线 $AB$ ，直线 $AD$ 都存在斜率且均不为 $0$ .

设 $AB%3Ay%3Dk%5Cleft(x-a%5Cright)%2Ba%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ ,则由 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ay%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%0Ay%3Dk%5Cleft(x-a%5Cright)%2Ba%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ ，得

$%5Cleft(x-a%5Cright)%5Cleft(x%2Ba-k%5Cright)%3D0$

所以 $B$ 的横坐标为 $k-a$ .

由于 $AB%5Cbot%20AD$ ，所以 $AD%3Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cleft(x-a%5Cright)%2Ba%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ .

同理得 $D$ 的横坐标为 $-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D-a$ .

所以 $%5Cvert%20AB%20%5Cvert%20%2B%20%5Cvert%20AD%20%5Cvert%20%3D%20%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%20%5Cvert%202a-k%20%5Cvert%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%2B1%7D%20%5Cleft%7C%20%202a%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20%5Cright%7C$ .

设 $f%5Cleft(a%5Cright)%20%3D%20%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%20%5Cvert%202a-k%20%5Cvert%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%2B1%7D%20%5Cleft%7C%20%202a%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20%5Cright%7C$ .

$f%5Cleft(a%5Cright)%20%3D%20%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%20%5Cvert%202a-k%20%5Cvert%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%2B1%7D%20%5Cleft%7C%20%202a%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%5Cleft(%5Cleft%7C2a-k%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%5Cfrac%7B2a%7D%7Bk%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cright%7C%5Cright)%5C%5C%5Cgeq%5Cmin%5Cleft%5C%7Bf%5Cleft(%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%5Cright)%2Cf%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%7D%5Cright)%5Cright%5C%7D%5C%5C%0A%3D%5Cmin%5Cleft%5C%7B%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cright)%2C%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%2B1%7D%5Cleft(1%2Bk%5E2%5Cright)%5Cright%5C%7D$

设 $g%5Cleft(k%5Cright)%3D%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cright)$ .

$g'%5Cleft(k%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bk%5E2%2B1%7D%5Cleft(k%5E2-2%5Cright)%7D%7Bk%5E3%7D$ .

所以 $g%5Cleft(k%5Cright)%5Cgeq%5Cmin%5Cleft%5C%7Bg%5Cleft(%5Csqrt%7B2%7D%5Cright)%2Cg%5Cleft(-%5Csqrt%7B2%7D%5Cright)%5Cright%5C%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D$ .

$g%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5Cgeq%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D$ .

所以 $%5Cleft%7CAB%5Cright%7C%2B%5Cleft%7CAD%5Cright%7C%3Df%5Cleft(a%5Cright)%5Cgeq%5Cmin%5Cleft%5C%7Bg%5Cleft(k%5Cright)%2Cg%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5Cright%5C%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D$ .